1 лаборатория иши Мавзу: Фазодаги ва текисликдаги алмаштиришлар. Ишнинг мақсади ва таркиби

№1 лаборатория иши

Мавзу: Фазодаги ва текисликдаги алмаштиришлар.
1.Ишнинг мақсади ва таркиби

1.1. Фазовий объектларни полигонал тўрлар ёрдамида ифодалаш усуллари.

1.2. Бир жинсли координата тушунчаси.
1.3. Фазодаги ва текисликдаги алмаштиришлар билан танишиш.
1.4. Проекциялаш турлари.
1.5. Платон жисмлар.


2 . Қисқача назарий қисм

2.1. Полигонал тўрлар.

Полигонал тўр фазовий объектларни учлари, қирралари ва ёқларининг (полигон - кўпбурчаклар) ўзаро боғланиши орқали ифодалаш демакдир. Учлар қирралар билан бирлаштирилади, кўпбурчаклар эса қирралар ва учлар кетма- кетлиги ёрдамида ифодаланади.

Полигонал тўр бир неча усулларда берилиши мумкин.
Кўпбурчакларни ошкора бериш усули. Ҳар бир кўпбурчак уни ташкил этувчи учларининг координаталари рўйхати сифатида ифодаланиши мумкин:
Р=((X₁,Y₁,Z₁),(X₂,Y₂,Z₂), … , (X_n,Y_n, Z_n)).
V₂



E₁ E₂
V₁ V₃
P₁ E₄ P₂
E₅ E₃
V₄
Мисол: P₁=(( X₁,Y₁,Z₁), (X₂,Y₂,Z₂), (X₄,Y₄,Z₄)),
P₂=(( X₂,Y₂,Z₂), (X₃,Y₃,Z₃), (X₄,Y₄,Z₄)).
Бунда кўпёқни уни ташкил этувчи учлари рўйхати индекст ёрдамида ёқларни бериш (учларини ошкора бериш).
V=((X₁,Y₁,Z₁),(X₂,Y₂,Z₂), … , (X_n,Y_n, Z_n)).

Кўпёқлар кўрсаткичлар (индекслар) рўйхати кўринишида ифодаланади. Ҳар бир нуқта (учи) айнан бир марта ифодаланади, бу эса хотирадан унумли фойдаланишга олиб келади. Аммо умумий қирра икки марта чизилади.

Масалан:
V=(V₁, V₂, V₃, V₄)=( (X₁,Y₁,Z₁),(X₂,Y₂,Z₂), (X₃,Y₃,Z₃),(X₄,Y₄,Z₄),
P₁=(1,2,4), P₂=(4,2,3).
Қирраларни ошкора бериш усули. Бунда кўпёқлар қирралар рўйхати кўринишида ифодаланади, яъни қирралар бир мартадан эълон қилинади. Ҳар қирра ўзини чегаралаб турган иккита учи орқали ифодаланади, бу қирра эса бир пайтнинг ўзида бир ёки иккита кўпбурчакка тегишли бўлиши мумкин, яъни Е=(V₁, V₂, Р₁, Р₂) каби ифодаланади. Кўпёқ эса Р(Е₁, Е₂, . . , Е_n) кўринишда.
Агар қирра битта кўпбурчакка тегишли бўлса, демак Р₁ ёки Р₂ бўш бўлади.
Масалан:

V=(V₁,V₂,V₃,V₄)=((x₁,y₁,z₁), (x₂,y₂,z₂), (x₃,y₃,z₃), (x₄,y₄,z₄)),
P=(E₁,E₂,E₃,E₄,E₅), E₁(V₁, V₂,P₂,0), E₂(V₂,V₃,P₂,0), E₃(V₃,V₄,P₂,0),
E₄(V₄,V₂,P₁,P₂), E₅(V₁,V₄,P₁,0).

2.2 Нуқтанинг бир жинсли координаталари.
Ихтиёрий М (х,у) координатага эга бўлган текисликдаги нуқтаси учун, x₁, x₂, x₃, сонлари (бирпайтнинг ўзида нолдан фарқли) берилган. Агар x₁/x₃=х, x₂/x₃=y шарт бажарилса бу координата бир жинсли ҳисобланади, Умумий ҳолда М(hх, hу, h), h≠0 кўринишда ёзиш мумкин. Бу ерда h=х₃.
Компьютер графикасида h=1 деб қабул қилинади. Компьютер графикасида М(x,y) нуқтанинг бир жинсли координатаси М(x,y,1) кўринишда ифодаланади, яъни h=1
2.3. Текисликдаги ва фазодаги алмаштиришлар.

Текисликдаги ва фазодаги M(x,y,1) ёки M(x,y,z,1) y нуқтани алмаштиришлар натижасида ёки нуқтага ўтқизиш қуйидаги ифода ёрдамида амалга оширилади

бу ерда Мр-текисликдаги 3-тартибли, ва фазодаги 4-тартибли алмаштириш матрицаси:
Кўчириш матрицаси:

T=
бу ерда ( , µ)- абциссалар ва ординаталар ўқлари бўйича кўчириш вектори.
Масштаблаш матрицаси

D=

бу ерда –масштаблаш коэффицентлари, >1 (1> >0)- абсциссалар ўқи бўйича кенгайтириш(сиқиш) коэффиценти, >0(1> >0) – ординаталар ўқи бўйича кенгайтириш (сиқиш) коэффициенти.

Буриш матрицаси.
Координата бошига( (0,0) нуқтага) нисбатан бурчакка буриш матрицаси
R=
Акслантириш матрицаси.
(Абсциccа ўқига нисбатан)
R_x=
(Ордината ўқига нисбатан )
R_y=

Фазодаги алмаштириш матрицалари.

Кўчиш матрицаси.
T=
бу ерда (λ, µ, ) – абсцисса, ордината ва аппликата ўқлари бўйича кўчиш вектори.
Масштаблаш матрицаси.
D=
бу ерда, α>1 (1> α >0) – абсцисса ўқи бўйича кенгайтириш(сиқиш) коэффициенти; >0, (1> >0) – ордината ўқи бўйича кенгайтириш(сиқиш) коэффициенти; γ>0,(1>γ>0) – аппликата ўқи бўйича кенгайтириш(сиқиш) коэффициенти.
Буриш матрицаси
Абсцисса ўқига нисбатан бурчакка буриш матрицаси
R=

Ординаталар ўқига нисбатан бурчакка буриш матрицаси

R=
Аппликата ўқига нисбатан бурчакка буриш матрицаси
R=
Акслантириш матрицаси (xy текислигига нисбатан)

R_xy=
(zy текислигига нисбатан)
R_zy=
(xz текислигига нисбатан)
R_xz=

2.4 ПРОЕКЦИЯЛАШ

Компьютер графикасида икки хил проекциялаш қўлланилади: параллел ва марказий. Уларни кўриб ўтамиз

Параллел проекциялаш.
Ортографик проекциялаш.
(Абсцисса ўқи бўйича проекциялаш матрицаси)
M_y=

(Ордината ўқи бўйича проекциялаш матрицаси)

M_y=

(Аппликата ўқи бўйича проекциялаш матрицаси)

M_y=
Аксонометрик проекциялаш.

M=
Бу ерда - ордината ўқига нисбатан буриш бурчаги, - абсцисса ўқига нисбатан буриш бурчаги.

М=
Бу ерда =cosθ, =sinθ .
бу ерда θ=45⁰, I=1(Кавалье ҳолида ), I=1/2(Кабине ҳолида).

Марказий проекциялаш

M=
Буни қуйидагича ифодалаш мумкин
, .
Умумий кўринишда марказий проекциялаш матрицасини қуйидагича ёзиш мумкин

P=