1. Умумлашган функсияларда ўзгарувчини алмаштириш. Умумлашган функсияга кўпайтириш. Умумлашган функциянинг ҳосиласи

17.13. Ихтиёрий 𝑓 ,h учун
тенглик ўринли эканлигини исботланг.
17.14. соҳада 𝑓 – финит умумлашган функция ва  –эса D( фазодаги ихтиёрий функция бўлиб supp 𝑓 ташувчи атрофида 1 га тенг бўлсин. Z=x+iy учун
f(z)= деб оламиз. У ҳолда
1) 𝑓(z) функция  ёрдамчи функциянинг танланишига боғлиқ эмас;
2) zsupp𝑓 учун 𝑓(z) аналитик функция;
3) z   да 𝑓(z)=O муносабат ўринли;
4) агар   0 бўлса, у ҳолда D( фазода яқинлашувчи эканлигини исботланг. Бу 𝑓(z) функция 𝑓(x) функциянинг Коши тасвири деб айтилади.

Умумлашган функцияларни дифференциаллаш
Умумлашган функциялар бир қатор қулай хоссаларга эгадир. Масалан, ҳосила тушунчасини тегишли маънода умумлаштириш ихтиёрий умумлашган функцияларнинг чексиз дифференциалланувчи бўлишлигини таъминлайди ва умумлашган функциялардан ташкил топган яқинлашувчи қаторни чексиз марта ҳадма–ҳад дифференциаллаш мумкин бўлишлигини билдиради.
3. Умумлашган функциянинг ҳосиласи. 𝑓(x) бўлган функция бўлсин. У ҳолда ихтиёрий ,  p мультииндекс ва ихтиёрий D(G) учун
( =
= бўлаклаб интеграллаш формуласи ўринли бўлади. Бу тенгликни биз 𝑓(x) умумлашган функциянинг (умумлашган) ҳосиласининг таърифи сифатида қабул қиламиз. Шунга кўра, умумлашган ҳосила ихтиёрий (x)D(G) учун
( = (6) тенглик билан киритилади.
Энди  умумлашган функция бўлишлигини текширамиз. Ҳақиқатдан ҳам, агар  бўлса, у ҳолда (x) функционал (6) формуланинг ўнг қисми билан аниқланган бўлса, у ҳолда =
=
+ λ чизиқли бўлади. Шунингдек, агар k   да D фазода  0 яқинлашувчи бўлса, у ҳолда
 0 яқинлашувчи эканлигини ҳосил қиламиз, яъни (x) функционал узлуксиз ҳам бўлади.
Хусусан, f   умумлашган функция учун (6) тенглик ихтиёрий D(G) учун
( шаклида бўлади. Бу таърифдан, агар 𝑓(x) умумлашган функция G бўлган очиқ тўпламда синфга қарашли бўлса, у ҳолда  p учун (x) умумлашган ҳосила ва  (x)  классик маънодаги ҳосилалар шу очиқ тўпламда устма–уст тушади, яъни  p ва x учун (x)= (x) тенглик ўринли бўлади.