1. Умумлашган функсияларда ўзгарувчини алмаштириш. Умумлашган функсияга кўпайтириш. Умумлашган функциянинг ҳосиласи

2. Умумлашган функцияга кўпайтириш. f(x) ва a(x) бўлсин. У ҳолда ихтиёрий D(G) учун
(af, тенглик ўринли бўлади. Бу тенгликни биз f(x) (G) умумлашган функциянинг a(x) чексиз дифференциалланувчи функцияга af кўпайтмасининг таърифи сифатида қабул қиламиз, яъни ихтиёрий D(G) учун
(af, (4) тенглик ўринли бўлади. Маълумки, ихтиёрий a(x) учун a амал D(G) синфни D(G) синфга акслантириб чизиқли ва узлуксиз бўлади. Шунинг учун (4) тенглик билан аниқланган a(x)f(x) функционал фазодаги умумлашган функцияни ифода қилади.
Бу (4) формула билан аниқланган ихтиёрий a(x) функциянинг f(x)  умумлашган функцияга a(x)f(x) кўпайтириш амали фазони фазога акслантирувчи чизиқли ва узлуксиз акслантириш бўлади, яъни ихтиёрий f(x)g(x) учун
a( бўлиб, агар фазода k   да 0 бўлса, у ҳолда фазода k   да a(x) 0 бўлади.
Бундан ташқари,
sup(a(x)f(x)) supp (a(x)) supp (f(x)) муносабат ўринлидир, чунки  ва
sup(a(x)f(x))=G\
= (G\ бўлади.
Агар f(x)  бўлса, у ҳолда
ff (5) тенглик ўринли бўлади, бунда  ихтиёрий функция бўлиб f(x)  умумлашган функциянинг ташувчиси атрофида бирга тенг бўлади. Ҳақиқатдан ҳам, ихтиёрий D(G) учун f(x) ва (x) функцияларнинг ташувчилари умумий нуқтага эга эмас. Шунинг учун
(f,(1 ))=0=((1 )f,) бўлади. Бу эса (5) тенгликка тенг кучлидир.
Мисоллар: а) a(x)(x)=a(0) (x) тенглик ўринлидир. Ҳақиқатдан ҳам, ихтиёрий D(G) учун
(a )=(,a)=a(0)(0)=( a(0) (x),) бўлади, яъни a(x)(x)=a(0) (x) тенглик ўринлидир.
б) тенглик ўринлидир. Ҳақиқатдан ҳам, ихтиёрий D(G) учун
бўлади, яъни xP тенглик ўринлидир.
Савол туғилади: ихтиёрий умумлашган функцияларнинг кўпайтмасини шундай киритиш мумкинми, бунда кўпайтма ҳам умумлашган функция бўлсин?. Локал интегралланувчи функцияларнинг кўпайтмаси яна локал интегралланувчи функция бўлмаслиги мумкин, масалан фазода функция локал интегралланувчи бўлмайди. Бунга ўхшаш ҳолат умумлашган функциялар учун ҳам ўринли бўлади. Л. Шварц томонидан кўпайтиришнинг ассоциативлик ва коммутативлик хоссалари ўринли бўлган бундай кўпайтмани аниқлаш мумкин эмаслиги кўрсатилган.
Ҳақиқатан ҳам, агарда бундай кўпайтма мавжуд бўлса, у ҳолда а) ва б) мисоллардан фойдаланиб
0=0 тенгликка эга бўлар эдик. Бу қарама-қаршилик бундай кўпайтмани аниқлаш мумкин эмаслигини кўрсатади.
f умумлашган функция ва g умумлашган функцияларнинг кўпайтмасини аниқлаш учун ихтиёрий нуқтанинг атрофида f умумлашган функция қанчалик “регуляр” бўлмаса, у ҳолда g умумлашган функция шу нуқтанинг атрофида шунчалик “регуляр” бўлилиги керак бўлади ва аксинча.
Масалан, агар a  b бўлса, у ҳолда  (x  a) (x  b)  0 бўлади деб, агар a(x) функция 0 нуқтанинг атрофида узлуксиз бўлса, у ҳолда a(x)(x)  a(0)(x) бўлади деб ҳисоблаш табиийдир.