10-amaliy mashg‘ulot. Mavzu

10-amaliy mashg‘ulot.

Mavzu: Bir o‘zgaruvchili funksiyalarning differensial hisobi tadbig‘i. (2 soat)
Roll teoremasi. Agar f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz, kesma ichida differensiallanuvchi va f(a)=f(b) bo‘lsa, u holda shunday x=c(a,b) nuqta mavjudki, unda f(c)=0 bo‘ladi.

Lagranj teoremasi. Agar f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz va kesma ichida differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda (a,b) oraliqda kamida bitta x=c nuqta mavjudki, unda f(b)-f(a)=(b-a)f(c) tenglik bajariladi.

Koshi teoremasi. Agar f(x) va (x) funksiyalar [a,b] kesmada uzluksiz va kesma ichida differensiallanuvchi, hamda (x)0 bo‘lsa, u holda (a,b) oraliqda kamida bitta x=c nuqta topilib, unda tenglik o‘rinli bo‘ladi.

Lopital qoidasi. f(x) va (x) funksiyalar x₀ nuqta va uning biror atrofida differensiallanuvchi, hamda (x)0 bo‘lsin. Agar =0 yoki =, ya’ni kasr da yoki ko‘rinishdagi aniqmaslik bo‘lsa, u xolda tenglik o‘rinli bo‘ladi.

Agar kasr ham da yoki ko‘rinishdagi aniqmaslik bo‘lib qolsa, u holda kasrga yuqoridagi shartlarni ko‘llab, ikkinchi tartibli hosilalar nisbatining limitiga o‘tiladi v.h.

Boshqa ko‘rinishdagi aniqmasliklar ham algebraik almashtirishlar yordamida yoki ko‘rinishdagi aniqmasliklarning biriga keltirilib, so‘ng yuqoridagi qoidalar ko‘llaniladi.

Teylor formulasi:

bunda .

Misol. f(x)=x²-6x+100 funksiya [1,5] kesmada Roll teoremasining shartlarini qanoatlantiradimi?. s ning qiymatini toping.

Yechish. f(x)=x²-6x+100 funksiya [1,5] kesmada uzluksiz, (1,5) oraliqda differensiallanuvchi va f(1)=f(5)=95. Demak, funksiya Roll teoremasini [1,5] kesmada qanoatlantiradi. s ni topamiz: f(x)=2x-6=0 da x=3, ya’ni c=3.

Misol. [1,4] kesmada f(x)= funksiya uchun Lagranj formulasi yozilsin va c topilsin.

Yechish. funksiya uchun [1,4] kesmada Lagranj formulasini yozamiz: topilgan qiymatlarni qo‘yamiz yoki .

Misol. f(x)=x³ va (x)=x² funksiyalar uchun [1,3] kesmada Koshi formulasi yozilsin va c topilsin.

Yechish. . [1,3] kesmada Koshi formulasi: yoki ; bundan .

Misol. .

Yechish. x1 da berilgan kasr ko‘rinishdagi aniqmaslik bo‘ladi. Lopital qoidasiga asosan kasrning x1 dagi limiti kasrning surat va maxrajidan olingan hosilalar nisbatining x1 dagi limitiga teng:



Misol. bunda n-butun musbat son.

Yechish. Berilgan kasr n da ko‘rinishdagi aniqmaslik bo‘ladi. Lopital qoidasini n marta ko‘llab, limitni topamiz:



Misol. .

Yechish. Bu yerda x0 da 0 ko‘rinishdagi aniqmaslik hosil bo‘ladi. Ko‘paytma shaklini kabi almashtirib, uni aniqmaslikka keltirib, Lopital qoidasini qo‘llab, limitni topamiz:

.

Misol.

Yechish. Bu yerda x0 da 0⁰ ko‘rinishdagi aniqmaslik hosil bo‘ladi. belgilash olib, tenglikni logarifmlaymiz:

Lopital qoidasini qo‘llab, limitni hisoblaymiz:

.

_Demak,

Topshiriqlar

1. funksiyaga [-1,1] kesmada Rol teoremasini tadbiq qilish mumkinmi?

2. funksiya [0,8] kesmada Rol teoremasi shartlarini qanoatlantiradimi?

3. y=2x-x² egri chiziqning AB yoyida shunday N nuqta topingki, N nuqtadan o‘tgan urinma AB vatarga parallel bo‘lsin. Bunda A(1;1) va

B(3;-3).

4. y=x² parabolaning qaysi nuqtasida o‘tkazilgan urinma A(-1;1) va B(3;9) nuqtalarni birlashtiruvchi vatarga parallel bo‘ladi?

Lopital qoidasi bilan limitlarni toping.

5.

6.

Nazorat uchun savollar:

1. Roll teoremasini tushuntiring.

2. Lagranj teoremasini tushuntiring.

3. Koshi teoremasini tushuntiring.

4. Lopital qoidasini tushuntiring.

5. Teylor formulasini tushuntiring.