10. Функция дифференциали тушунчаси

1⁰. Функция дифференциали тушунчаси. Фараз қилайлик, функция да берилган бўлиб, бўлсин.
Маълумки, айирма функциянинг нуқтадаги орттирмаси дейилади.
1-таъриф. Агар ни ушбу

кўринишда ифодалаш мумкин бўлса, функция нуқта-да дифференциалланувчи дейилади, бунда , да
Теорема. функция нуқтада дифференциал-ланувчи бўлиши учун унинг шу нуқтада чекли ҳосилага эга бўлиши зарур ва етарли.
◄ Зарурлиги. функция нуқтада дифферен-циалланувчи бўлсин. Таърифга биноан,

бўлади, бунда ,  , да
Бу тенгликдан фойдаланиб топамиз:


Демак, мавжуд ва
Етарлилиги. функция да чекли ҳосила-га эга бўлсин. Таърифга кўра

бўлади. Агар

дейилса, ундан

бўлиши келиб чиқади, бунда да Демак, функция дифференциалланувчи.►
2-таъриф. Функция орттирмасидаги ифода функциянинг нуқтадаги дифференциали дейилади ва каби белгиланади:
.
Айтайлик, нуқтада дифференциалланувчи функциянинг графиги 6-чизмада тасвирланган эгри чизиқни ифодаласин:



6-чизма.

Келтирилган чизмадан кўринадики,

бўлиб, бўлади.
Демак, функциянинг нуқтадаги дифференциали функция графигига нуқтада ўтказилган уринма орттирмаси ни ифодалар экан.
Фараз қилайлик, бўлсин. Бу функция дифференциалланувчи бўлиб, , яъни бўлади. Демак, да дифференциалланувчи функция-нинг дифференциалини

кўринишда ифодалаш мумкин.