10. Интегралнинг чизиқлилик ҳамда аддитивлик хоссалари

24- MAVZU. АNIQ INTEGRALNING XOSSALARI VA UNI HISOBLASH.
1⁰. Интегралнинг чизиқлилик ҳамда аддитивлик хоссалари.
1-хосса. Агар ва бўлса, у ҳолда бўлиб,

бўлади.
◄ ва бўлсин. Аниқ интеграл таърифига кўра

бўлади.
Равшанки,


Демак,

ва
.►
2-хосса. Агар
,
бўлса, у ҳолда

бўлиб,

бўлади (аддитивлик ҳоссаси)
◄ Аниқ интеграл таърифига кўра


бўлади.

Равшанки,

.
Лимитга эга бўлган фукциялар ҳақида теоремадан фойдаланиб, ва

бўлишини топамиз. ►
3-хосса.Агар
,
бўлса, у ҳолда

бўлиб,

бўлади.
◄ Айтайлик, бўлиб, ва бўлсин. У ҳолда сон олинганда ҳам оралиқнинг бўлган бўлаклаши топиладики
, (1)
шунингдек оралиқнинг бўлган бўлаклаши топиладики,

бўлади.
Энди оралиқнинг диаметри бўлган ихтиёрий бўлаклашини оламиз. Бу бўлаклашнинг бўлувчи нуқталари қаторига нуқтани қўшиб нинг янги бўлаклашини ҳосил қиламиз. Унга нисбатан фукциянинг Дарбу йиғиндилари

бўлсин.
бўлаклашнинг ва даги бўлувчи нуқталари мос равишда уларнинг ҳамда бўлаклашларини юзага келтиради. Равшанки, бу ва бўлаклашларга нисбатан қуйидаги тенгсизликлар ўринли бўлади:
,
.
Айни пайтда,
,

бўлади. Бу муносабатлардан

бўлиши келиб чиқади. Демак, .
фукциянинг оралиқлар бўйича бўлаклашга нисбатан интеграл йиғиндилари

бўлиб,

бўлади. Интеграл таърифидан фойдаланиб топамиз:
.
Шунга ўхшаш бўлган ҳолларда ҳам хоссанинг ўринли бўлиши исботланади.►
4-хосса. Агар , бўлса, у ҳолда бўлади.
◄ Модомики, ва фукциялар да интегралланувчи экан, унда


бўлади.
Айтайлик, да бўлсин. У ҳолда учун


бўлиб, улардан

бўлиши келиб чиқади. Айни пайтда,

лар учун

бўлиб,

бўлади.
Энди эканини этиборга олиб, топамиз;

Демак, бу ҳолда .
Айтайлик, ва фукциялар да ихтиёрий интегралланувчи фукциялар бўлсин.
Равшанки, да
,

бўлади.
Энди фукцияни қуйидагича ёзиб оламиз:

Бу тенгликнинг ўнг томонидаги ҳар бир қўшилувчи да интегралланувчи бўлганлиги сабабли ҳам да интегралланувчи бўлади. ►