10. Limitga ega bo`lgan funksiyalarning xossalari

1-misol. Ushbu

limit hisoblansin.
◄ Bu limitni yuqoridagi xossalardan foydalanib hisoblaymiz:



.►
2-misol. Ushbu

limit hisoblansin.
◄ Ma`lumki, . SHuni hisobga olib topamiz:
. ►
2<sup>0</sup>. Funksiya limitining mavjudligi. Faraz qilaylik, funksiya to`plamda berilgan bo`lib, bo`lsin . Ravshanki, nuqta to`plamning limit nuqtasi bo`ladi.
1-teorema. Agar funksiya to`plamda o`suvchi bo`lib, u yuqoridan chegaralangan bo`lsa, funksiya nuqtada

limitga ega bo`ladi.
◄ funksiya qiymatlaridan iborat bo`lgan ushbu

to`plamni qaraymiz. Teoremaning shartiga ko`ra bu to`plam yuqoridan chegaralangan bo`ladi. U holda to`plamning aniq chegarasining mavjudligi haqidagi teoremaga ko`ra tuplam aniq yuqori chegaraga ega. Uni bilan belgilaymiz:
.
Endi, bo`lishini isbotlaymiz. Aniq yuqori chegara ta`rifiga ko`ra:
1) uchun ;
2) bo`ladi.
Agar deyilsa, unda uchun

bo`lib,

tengsizlik bajariladi. Bu esa

ekanini bildiradi. ►
Xuddi shunga o`xshash quyida keltiriladigan teorema isbotlanadi.
Aytaylik, funksiya to`plamda berilgan bo`lib, bo`lsin . Ravshanki, nuqta to`plam-ning limit nuqtasi bo`ladi.
2-teorema. Agar funksiya to`plamda kamayuvchi bo`lib, u quyidan chegaralangan bo`lsa, funksiya nuqtada

limitga ega bo`ladi.
Endi funksiya limitining mavjudligi haqidagi umu-miy teoremani keltiramiz.
Faraz qilaylik, funksiya to`plamda berilgan bo`lib, nuqta to`plamning limit nuqtasi bo`lsin.
1-ta`rif. Agar olinganda ham shunday son topilsaki, argument ning tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy va qiymatlarida ( )
(1)

tengsizlik bajarilsa, uchun nuqtada Koshi sharti bajariladi deyiladi.