10-ma’ruza Cheksiz tor uchun Koshi masalasini yechish. Asosiy masalalarning qo’yilishi: Koshi masalasi, chegaraviy masalalar, aralash masalalar

Dalamber formulasi 

 

(2) boshlang’ich shartlar cheksiz torning tebranishini bir qiymatli aniqlaydi. 

Shuning uchin (1) va (2) masalani boshlag’ich shartli masala yoki Koshi masalasi 

deyiladi. Bu masalaning yechimini Dalamber usuli bilani yechamiz. 

(1)  tenglamani yechish uchun yangi 

  va   o’zgaruvchilar kiritamiz: 

                            

 (    ) funksiya hosilalarining yangi o’zgaruvchilardagi ko’rinishini aniqlaymiz: 

 

 

   

 

 

 

   

 

 

 

     

 

    

 

   ( 

 

   

 

)  

 

  

   ( 

  

 

 

   

  

 

 

   

  

 

 

   

  

 

 

)    

 

( 

  

 

 

    

  

   

  

)  

 

 

   

 

 

 

   

 

 

 

   

 

   

 

  

 

  

   

  

 

 

   

  

 

 

   

  

 

 

   

  

 

 

   

  

    

  

   

  

  

Topilgan ikkinchi tartibli xususiy hosilalarni (1) tenglamaga qo’yib, topamiz 

 

 

 

    

    

Bu tenglamani  

---

 

2 

 

 

  

(

  

  

)     

ko’rinishda yozib olamiz va integrallaymiz: 

  

  

   

 

( )  

bu yerda 

 

 

( ) funksiya   o’zgaruvchining ixtiyoriy funksiyasi. Bundan  

     

 

 

 

 

( )      

 

( )  

bu yerda 

 

 

( ) had   o’zgaruvchining ixtiyoriy funksiyasi.  

 

 

 

 

 

( )      

 

( ) deb belgilash kiritamiz. U holda  

     

 

( )    

 

( ) 

bo’ladi. 

  va   o’zgaruvchilarga qaytib, topamiz: 

     

 

(      )    

 

(      )   

 

 

(3) 

bu  yerda 

 

 

   

 

 o’z  argumentlari  bo’yicha  ikki  marta  differensiallanuvchi 

ixtiyoriy funksiyalar. 

 

(3)  ifoda  bilan  aniqlanuvchi 

 (    )  funksiya  (1)  to’lqin  tenglamasining 

umimiy  yechimi  (Dalamber  yechimi)  bo’ladi,  ya’ni  (1)  tenglamaning  har  qanday 

yechimi 

 

 

  va 

 

 

  funksiyalarning  mos  tanlanishida  (3)  ko’rinishda  ifodalanadi. 

Xususan,  (3)    ifodaning  har  bir  qo’shiluvchisi  ham  (1)  tenglamaning  yechimi 

bo’ladi. 

Endi  (2)  boshlang’ich  shartlardan  foydalanib, 

 

 

va

 

 

  funksiyalarni 

aniqlaymiz. U holda 

 (    )    

 

( )    

 

( )    ( )    

 

 

(4) 

 

 

(    )       

 

( )      

 

( )    ( )    

 

(5) 

(5) tenglikni 

 

 

 dan 

  gacha integrallaymiz 

 

 

( )    

 

( )    

  

 

 

 

 

 ( )         

 

(6) 

bu yerda 

 

 

 va 

   o’zgarmas sonlar. 

(4) va (6) tengliklardan 

 

 

 va 

 

 

 ni aniqlaymiz: 

 

 

( )  

 

 

 ( )  

 

  

 

 

 

 

 ( )    

 

 

  

 

 

( )  

 

 

 ( )  

 

  

 

 

 

 

 ( )    

 

 

  

 

 

va 

 

 

 funksiyalarni (1) tenglikga qo’yib 

 (    )  

 

 

 (      )  

 

  

 

    

 

 

 ( )    

 

 

 (      )  

 

  

 

    

 

 

 ( )    

---

 

3 

 

yoki 

 (    )  

 (      )    (      )

 

 

 

  

 

    

    

 ( )   

(7) 

tenglikni hosil qilamiz. 

Agar   

 ( )  funksiya  ikki  marta  differensiallanuvchi  va   ( )  funksiya  esa 

bir marta differensiyallanuvchi bo’lsa, (7) formula chegaralanmagan tor uchun  (1), 

(2) Koshi masalasining yagona yechimi bo’ladi. (7) formulaga Dalamber formulasi 

deyiladi. 

1-Misol. Koshi masalasini Dalamber usuli bilan yeching: 

a) 

 

 

 

  

 

   

 

 

 

  

 

                            

   

            

  

  

|

   

    

b) 

 

 

 

  

 

   

 

 

 

  

 

                            

   

   

 

    

  

  

|

   

     

►a) Masalaning shartiga ko’ra: 

           ( )              ( )      U holda 

(7) formula bilan topamiz 

 (    )  

   (      )      (      )

 

 

 

 

 

    

    

     

                

 

 

|

    

    

                

 

 

(               )                     

b) 

           ( )    

 

     ( )      Dalamber formulasidan foydalanib 

 (    )  

(      )

 

  (      )

 

 

 

 

 

 

    

    

      

 

 

 

          

 

   

 

          

 

 

 

 

 

 

|

    

    

  

   

 

    

 

 

 

 

( 

 

          

 

   

 

          

 

)    

 

    

 

     

yechimni topamiz.◄ 

Chegaralanmagan tor uchun bir jinsli bo’lmagan Koshi masalasini yechish 

Bir jinsli bo’lmagan  

 

 

 

  

 

   

 

 

 

 

  

 

   (    ) 

                    

(8) 

to’lqin tenglamasining  

  

   

   ( )      

  

  

|

   

   ( ) 

            

(9) 

boshlang’ich  shartlarni  qanoatlantiruvchi 

 (    )  yechimini  topish  masalasini 

qaraymiz. 

Bu masala yechimini 

 (    )    (    )    (    ) 

---

 

4 

 

yig’indi ko’rinishda izlaymiz. Bunda  

 (    ) yechim (1), (2)  Koshi masalasining  

yechimi, 

 (    ) esa  

 

 

 

  

 

   

 

 

 

 

  

 

   (    ) 

                   

(10) 

bir jinsli bo’lmagan tenglamaning 

  

   

         

  

  

|

   

                 

(11) 

boshlang’ich  shartni qanoatlatiruvchi yechimi.         

 

Aytaylik 

 (       ) funksiya quyidagi Koshi masalasining yechimi bo’lsin: 

{

 

 

 

 

 

  

 

   

 

 

 

 

  

 

                         

  

   

         

  

  

|

   

   (    )                 

 

(12) 

Endi (10), (11) masalaning yechimi 

 (    ) 

 (    )    

 

 

 (       )    

 

 

(13) 

ko’rinishda  bo’lishini  korsatamiz,  bu  yerda 

 (       )  funksiya  (12)  masalaning 

yechimi. 

Haqiqatdan ham 

 (    )     va 

  

  

   (       )    

 

 

  (       )

  

    

hamda (12) masalaning boshlang’ich shartidan  

  

  

|

   

    bo’ladi. 

 

(13) yechim (10) tenglamani qanoatlantirilishini ko’rish mumkin: 

 

 

 

  

 

   

 

 

 

 

  

 

 

  (       )

  

|

   

   

 

 

[

 

 

 

  

 

   

 

 

 

 

  

 

]       (    ) 

(12) masalaning yechimi Dalamber  formulasiga ko’ra  

 (       )  

 

  

 

   (   )

   (   )

 (    )   

(14) 

formula orqali aniqlanadi. 

 

(7), (13) va (14) formulalardan berilgan (8), (9) masalaning yechimini 

 (    )  

 (      )    (      )

 

 

 

  

 

    

    

 ( )    

 

  

 

 

 

 

   (   )

   (   )

 (    )     

formula orqali yozishimiz mumkin. Bu formulaga  Dyumel formulasi deyiladi. 

2-Misol. Tor uchun bir jinsli bo’lmagan Koshi masalasini yeching: 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

  

 

                                 

---

 

5 

 

  

   

            

  

  

|

   

                   

► Masalaning shartiga ko’ra 

          ( )               ( )          

 (    )             

Masalaning yechimini Dyumel formulasi bilan topamiz 

 (    )  

 (      )    (      )

 

 

 

  

 

    

    

 ( )    

 

  

 

 

 

 

   (   )

   (   )

 (    )    

  

 

   (     )      (     )

 

 

 

  

 

   

   

          

 

  

 

 

 

 

  (   )

  (   )

              

Ifodadagi integrallarni alohida hisolab olamiz:  

 

   

   

              (     )      (     )                  

 

 

 

 

  (   )

  (   )

              

 

 

 

 

 

      ((         )

 

  (         )

 

)  

    (         )  

Hosil  qilingan  ifodalarni  yuqoridagi  integralga  qo’yib,  berilgan  masalaning 

yechimini topamiz: 

 (    )                                                 (     )                 ◄