10-маъруза Ечиладиган масалалар турлари

КОРРЕКТ ВА НОКОРРЕКТ МАСАЛАЛАР (лот. correctus — тузатилган) — математик масалаларнинг ечимлари аниқликларига қараб баъзи шартларга жавоб берадиган синфи. Кўпгина математик масалаларда берилган u бошланғич маълумотлар бўйича ечим изланади. Бунда u ва z ушбу z= R(u) функционал боғланиш билан боғланган ҳисобланади. Агар қуйидаги шартлар (корректлик шартлари) бажарилган бўлса, масала коррект масала (ёки коррект қуйилган масала) дейилади:
1) ҳар қандай йўл қўйилиши мумкин бўлган бошланғич маълумотларда масала ечимга эга (ечимнинг мавжудлиги);
2) ҳар бир бошланғич маълумот u га фақат битта ечим тўғри келади (масаланинг бир қийматлилиги);
3) ечим турғун (устувор).

Биринчи шартнинг мазмуни шундан иборатки, бошланғич маълумотлар орасида шартларнинг бир-бирига зидлик қиладигани мавжуд эмас, агар мавжуд бўлганда масаланинг ечими бўлмасди.

Иккинчи шартнинг мазмуни шундаки, масала ечимининг аниқ бир қийматли бўлиши учун бошланғич маълумотлар етарли. Бу икки шарт, одатда, масаланинг математик аниқ бўлиш шартлари дейилади.
Учинчи шартнинг мазмуни қуйидагича: агар (u1, ва u2 — бошланғич маълумотларнинг иккита ҳар хил тўплами бўлиб, бир-биридан четлашиш фарқи етарлича кичик бўлса, у ҳолда z1 =R(u1) ва z2 =R(u2) ечимларнинг бир-биридан четлашиш ўлчами олдиндан берилган ўлчов аниқлигидан кичик бўлади. Бунда мумкин бўлган бошланғич маълумотларнинг U={u} кўп хиллилигида ва мумкин бўлган ечимларнинг Z= {z} кўп хиллигида U(u1,u2) ва Z(z1,z2) ўлчов четлашиши (яқинмас ўлчови) тушунчалари белгиланган. Одатда, учинчи шарт масаланинг табиий детерминантланганлиги деб шарҳланади. Бу шу билан тушунтириладики, табиий масаланинг бошланғич маълумотлари, одатда, баъзи хатоликлар билан берилади; учинчи шарт бузиладиган бўлса, бошланғич маълумотларнинг ҳар қандай кичик ўзгариши ечимда катта ўзгаришларни вужудга келтириши мумкин.
Шартлардан ақалли биттасини қаноатлантирмайдиган масалалар нокоррект масалалар дейилади.
Масалаларнинг корректлилигига француз математиги Ж. Адамар 1923 йилда хусусий ҳосилали тенгламалар учун чегаравий масалаларни ечганда эътибор берган. Масалаларнинг корректлилиги тушунчаси, хусусан, айтилган тенгламаларнинг чегаравий масалаларини синфларга ажратишга сабаб бўлган. Нокоррект масалаларни ечишнинг тақрибий усулларига ва уларни тескари масалаларни ечиш учун татбиқ қилишга доир кўпгина илмий ишлар мавжуд. Бу ишлар кузатув материалларини ишлашни автоматлаштириш, бошқарув муаммоларини ҳал қилиш ва бошқалар учун жуда муҳим.
Кўпгина татбиқий масалаларнинг моделлари хусусий ҳосилали дифференциал тенгламаларга оид масалаларга, шу жумладан математик физиканинг тескари ва нокоррект масалаларига келтирилади. Қайд этиш жоизки, тескари ва нокоррект масалаларнинг тадқиқи ва уларни сонли ҳисоблари математик физиканинг модель тенгламалари учун амалга оширилади.
Охирги йилларда математик моделларга мос келувчи тескари ва нокоррект масалаларни ўрганиш бўйича изчил ишлар олиб борилмоқда. Нокоррект масалалар назариясиниг назарий асослари А. Н. Тихонов, М. М. Лаврентьев, В. К. Иванов ва Ф. Джон сингари математикларнинг ишларида ёритилган. Бу назарияга кўра, тескари ва нокоррект масалаларни тадқиқ этишда одатда ечимнинг мавжудлиги фараз қилиниб, масаланинг ягоналиги ва шартли турғунлиги исботланади. Бу назарияга мувофиқ ўзининг аҳамиятига эга бўлган кўплаб амалий масалалар ўрганилган.
Мисол учун тузилмали бир жинсли бўлмаган хусусий ҳосилали дифференциал тенглама учун тескари Коши масаласини кўрайлик

шартларини қаноатлантирувчи u(x,t) функцияни топамиз.
Қаралаётган масаланинг намунаси сифатида амалий иссиқлик тарқалиши жараёни моделини қурамиз.
Фараз қиламиз u(x, t) узунлиги π стерженнинг ҳарорати ва унинг ичида f(x, t) кўринишида манба берилсин.

яъни стерженнинг бошланғич вақтдаги ҳарорати нолга тенг. Белгилашлардан сўнг, дастлабки масаламиз қуйидаги кўринишга келади:

Бу масала, ушбу вақтдаги маълум ҳароратдан ўтган вақтдаги муҳитнинг ҳароратини аниқлаш масаласига мос келади. Чегаравий шартлар чегарада ноль ҳароратга мос келади ва дастлабки вақтда ҳарорат нолга тенг.

Маълумки, бу масала нокоррект, яъни ечимларнинг берилганларга узлуксиз боғликлиги йўқ.
Такрорлаш учун саволлар:

1. 
   Қандай масалалар тўғри масала дейилади?
   
2. 
   Қандай масалалар тескари масала дейилади?
   
3. 
   Қачон масала нокоррект бўлади?
   

Литература: 

1. 
   Тихонов Д. Н., Об устойчивости обратных задач, «Доклады АН СССР», 1943, т. 39, № 5;
   
2. 
   Тихонов Д. Н., О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации, там же, 1963, т. 151, № 3;
   
3. 
   Лаврентьев М. М., О некоторых некорректных задачах математической физики, Новосиб., 1962.
   
4. 
   Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. М.: Наука, 1978. 351 c.