10-ma’ruza. Funksiya limiti. Limitlar haqidagi asosiy teoremalar. Ajoyib limitlar. Cheksiz kichik miqdorlar, ularning xossalari. Cheksiz kichik miqdorlarni taqqoslash. Reja

10-ma’ruza.

Funksiya limiti. Limitlar haqidagi asosiy teoremalar. Ajoyib limitlar. Cheksiz kichik miqdorlar, ularning xossalari. Cheksiz kichik miqdorlarni taqqoslash.

Reja:

1. 
   Funksiya limiti.
   
2. 
   Cheksiz kichik funksiyalar.
   
3. 
   Cheksiz katta funksiyalar.
   
4. 
   Limitlar haqidagi asosiy teoremalar.
   
5. 
   Birinchi ajoyib limit
   
6. 
   Ikkinchi ajoyib limit
   

Agar bo‘lsa, u holda da cheksiz kichik funksiya deyiladi.

Masalan, da funksiya cheksiz kichik funksiya bo‘ladi.

Agar bo‘lsa, u holda da cheksiz katta funksiya deyiladi.

1) Agar funksiya a nuqtada limitga ega bo‘lsa, u yagona bo‘ladi.

2) Agar bo‘lsa, u holda a nuqtaning yetarlicha kichik atrofiga tegishli x ning qiymatlarida funksiya chegaralangan bo‘ladi.

3) Agar da va funksiyalari chekli limitga ega bo‘lib, a ning etarlicha kichik atrofiga tegishli x larda bo‘lsa, bo‘ladi.

4) Agar (b chekli son) bo‘lib, a nuqtaning yetarlicha kichik atrofiga tegishli x larda bo‘lsa, u holda da funksiyaning limiti mavjud va bo‘ladi.

5) Agar , limitlar mavjud va chekli bo‘lsa, u holda , , funksiyalarning ham limitlari mavjud va

,

,

bo‘ladi.

4. Ajoyib limitlar

Amaliy masalalarni yechishda ko‘p foydalaniladigan muhim limitlar deb ataluvchi formulalarni keltiramiz.

Ma’lumki, da

bo‘ladi. Bu tengsizliklarning hamma tomonlarini ga bo‘lib

va undan

bo‘lishini topamiz.

Agar bo‘lishi e’tiborga olinsa, yuqoridagi munosabatdan

bo‘lishi kelib chiqadi.

Ikkinchi ajoyib limit

munosabati o‘rinli.

Agar ( da ) almashtirish bajarsak

bo‘ladi.

Ushbu munosabat o‘rinli.

Logarifmning xossasidan foydalanib topamiz:

Agar

bo‘lishini e’tiborga olinsa, u holda

bo‘ladi.

Ushbu munosabat o‘rinli.

Quyidagi almashtirishni bajaramiz. Unda da bo‘lib, bo‘ladi. Natijada

bo‘ladi.

– ikkinchi ajoyib limit.

Bundan tashqari quyidagi umumiy holdagi formulalarni keltirib o‘tamiz:

1. bunda bo`lganda f (x).

2. bunda bo`lganda (x) 0.

3.

Misollar: I. Berilgan limitlarni hisoblang.



Yechish. Birinchi ajoyib limitni ishlatamiz:



II. Limitlarni toping.

Yechish.

1)


Nazorat savollari

1. 
   Funksiya limiti.
   
2. 
   Cheksiz kichik funksiyalar.
   
3. 
   Cheksiz katta funksiyalar.
   
4. 
   Limitlar haqidagi asosiy teoremalar.
   

Foydalanilgan adabiyot:

1. 
   [1], G. Bauman. Mathematics for engineers I. Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH. 2010; 84-159 betlar
   
2. 
   Yo.U. Soatov Oliy matematika 1-2 qism 1995y
   
3. 
   I.G‘.G‘aniev va boshq. Oliy matematika. Toshkent, 2013.
   
4. 
   I.G‘. G'aniev va boshq. Oliy matematikadan masalalar to’plami. 1-qism. Toshkent- 2008, 2009.