10-маъруза Параметрга боғлиқ хосмас интеграллар 10. Параметрга боғлиқ хосмас интеграл тушунчаси

10-маъруза
Параметрга боғлиқ хосмас интеграллар


1⁰. Параметрга боғлиқ хосмас интеграл тушунчаси. Фараз қилай­лик, функция

тўпламда берилган бўлсин. Бу функция ҳар бир тайин да ўзгарувчининг функцияси сифатида да интеграл­ла­нувчи, яъни

хосмас интеграл яқинлашувчи. Равшанки, интегралнинг қиймати ўзгарувчига боғ­лиқ бўлади:
. (1)
Масалан, бўлганда

бўлади. Демак, бу ҳолда

бўлади.
(1) интеграл параметрга боғлиқ чегараси чексиз хосмас интеграл, эса параметр дейилади.
Худди шунга ўхшаш

параметрга боғлиқ хосмас интеграллар тушунчалари кирити­лади.
Айтайлик, функция

тўпламда берилган бўлсин. Бу функция ҳар бир тайин да ўзга­рувчининг функцияси сифатида қаралганда унинг учун мах­сус нуқта бўлиб, у да интегралланувчи, яъни

хосмас интеграл яқинлашувчи бўлсин. Равшанки, бу ҳолда ҳам интегралнинг қиймати ўзгарувчига боғлиқ бўлади:
. (2)
Масалан, бўлганда

бўлади. Демак, бу ҳолда

бўлади.
(2) интеграл параметрга боғлиқ, чегараланмаган функ­ция­нинг хосмас интег­ра­ли, эса параметр дейилади.
Умумий ҳолда, параметрга боғлиқ, чегараланмаган функ­ция­нинг чегараси чексиз интеграли тушунчаси ҳам юқори­дагидек киритилади.
Параметрга боғлиқ хосмас интегралларнинг функционал хос­салари (лимити, узлуксизлиги, дифференциалланиши интег­рал­ланиши)ни

интеграл учун келтириш билан кифояланамиз.
2⁰. Интегралнинг текис яқинлашиши. Айтайлик, функция

тўпламда берилган бўлиб, ҳар бир тайин да

хосмас интеграл яқинлашувчи бўлсин. Таърифга биноан

бўлади.
Натижада берилган функция ёрдамида

функциялар юзага келади ва

муносабат бажарилади.
Демак, функция да лимит функция га эга бўлади.