10-ma’ruza Shartli

10-ma’ruza

Shartli ehtimol. To’la ehtimol. Beyes formulasi. Xodisalarning
bog’liqmasligi



Ma’ruza rejasi:

1. 
   Shartli ehtimol.
   
2. 
   Birgaliкda bo’lmagan hodisalar yig’indisining ehtimoli.
   
3. 
   Birgalikda bo’lgan hodisalar yig’indisining ehtimoli.
   
4. 
   Hodisalar ko’paytmasining ehtimoli.
   
5. 
   Shartli ehtimolning tatbiqi.
   
6. 
   Hodisalar to’liq gruppasining ehtimoli.
   
7. 
   To’la ehtimol formulasi.
   
8. 
   Beyes formulasi.
   

Shartli ehtimollik.

1-Ta’rif. Tajriba o’tkazish natijasida A hodisa ro’y berganda B hodisaning
ro’y berish ehtimoli shartli ehtimol deyiladi va ^P_A ^B yoki ^{PB / A} ko’rinishda yoziladi.
1-Misol. Bir idishda 5 ta oq va 3 ta qora shar bor. A hodisa birinchi tajribada oq shar chiqishi (shar qaytib idishga solinmaydi), B hodisa esa ikkinchi tajribada oq shar chiqishi bo’lsin. A hodisa ro’y berganda B hodisaning ro’y berishi ehtimoli topilsin.
Yechish. Ehtimolning klassik ta’rifiga asosan A hodisaning ehtimoli
^{PA  5} ga teng, A hodisa ro’y berganda B hodisaning ehtimoli ^{P B  4} ga
₈ ^A ₇
teng.
Xuddi shu natijaga quyidagi formula orqali ham kelish mumkin:

 
_{P B } PAB
^A P A
PA  0
(66.1)

А

А
Haqiqatan, AB hodisalarning ro’y berishi uchun imkoniyat yaratuvchi hodisalar

soni
^{2  5  4  20} , umumiy hodisalar soni esa
²  8  7  56
ga teng, u

5

8
holda (66.1) formulaga asosan,

20
P B  ^PAB  ⁵⁶  ^4
A PA ⁵ 7
8
Yuqoridagi (66.1) formulani shartli ehtimol formulasi sifatida qabul qilish mumkin

Birgaliкda bo’lmagan hodisalar yig’indisining ehtimoli

1-Teorema. Birgalikda bo’lmagan ikkita A va B hodisalar yig’indisiningehtimoli, shu hodisalar ehtimollarining yig’indisiga teng, ya’ni
PA  B  PA PB

Isbot. A hodisaning ro’y berish ehtimoli
PA  ^m1
n
va B hodisaning ro’y

berish ehtimoli
PB  ^m2
n
bo’lsa, u holda A+B hodisaning ro’y berish ehtimoli

PA  B  ^{m1  m2}
n
ga teng, bundan

PA  B  ^{m1  m2}
_ m_{1 } m₂
 PA PB

n n n
ekanligi kelib chiqadi.

1. 
   Natija. O’zaro juft-jufti bilan birgalikda bo’lmagan bir nechta hodisalar yig’indisining ehtimoli shu hodisalar ehtimollarining yig’indisiga teng
   

1
PA

• 
  A₂
  

 A_n
 PA  PA
^{ PA }.

2. 
   
   2
   
   1
   
   n
   Misol. Idishda 25 ta shar bo’lib, 10 tasi qizil, 5 tasi ko’k va 10 tasi oq bo’lsin. Idishdan olingan sharning rangli shar chiqish ehtimoli topilsin.
   

Yechish. Shar rangli bo’lishi uchun qizil yoki ko’k shar chiqishi kerak. A- qizil shar chiqish hodisasi, B-ko’k shar chiqish hodisasi bo’lsin. Bu hodisalarning

ehtimolliklari
^{PA  10  2} , ^{PB  5  1}
ga teng. A va B birgalikda

25 5 25 5
bo’lmaganhodisalar bo’lgani uchun
PA  B  PA PB  ²  ¹  ³
5 5 5

3

ko’rinishda yozish mumkin. Demak, rangli shar chiqish ehtimoli ₅

Birgalikda bo’lgan hodisalar yig’indisining ehtimoli

ga teng.

2-Teorema. Ikkita hodisalardan hech bo’lmaganda bittasining ro’y berish ehtimoli shu hodisalar ehtimollari yig’indisidan ularning birgalikda ro’y berish
ehtimolining ayirilganiga, ya’ni

ga tengdir.

PA  B  PA PB PAB
(66.2)

Isboti. Hodisalar yig’indisi A+B ni birgalikda bo’lmagan hodisalar yig’indisi

А  В  АB  AВ  АВ
(66.3)

ko’rinishda ifodalash mumkin, bu yerda holda


АВ  А АВ ,


АВ  В  АВ
ga teng. U

P(A  B)  P(AB)  P(AB)  P(AB)
tenglik o’rinlidir. (66.3) ni (66.4) ga qo’ysak (66.2) tenglik kelib chiqadi.
(66.4)

3-Misol. Ikki mergan bir nishonga qarata o’q uzmoqda. Birinchi merganning nishonga tekkizish ehtimoli 0,7, ikkinchi mergan uchun esa 0,8 bo’lsa, hech bo’lmaganda bitta merganning nishonga tekkizish ehtimoli topilsin.
Yechish. A – hodisa birinchi merganning nishonga tegish hodisasi, B–esa ikkinchi merganning nishonga tegish hodisasi, A va B hodisalar birgalikda

bo’lmagan hodisalar bo’lgani uchun
Р(А)  0,7 ^,
Р(В)  0,8 ,

^{Р(АВ)  Р(А) Р(В)  0,70,8  0,56} bo’ladi. Demak,
^{Р(А  В)  Р(А)  Р(В)  Р(АВ)  0,7  0,8  0,56  0,94}.

Hodisalar ko’paytmasining ehtimoli

3-Teorema. Ikkita hodisalar ko’paytmasining ehtimoli, birinchi hodisa
ehtimolini birinchi hodisa ro’y berganda ikkinchi hodisaning shartli ehtimoliga ko’paytmasiga teng, ya’ni
PAB  PAP_A B
Isboti yuqoridagi (1) formuladan kelib chiqadi.

Ma’lumki,
PAB  PBA_{, u holda}
PBA  PBP_B
A_.

Бу tenglikka asosan,

ekanligi kelib chiqadi.

PAP_A B  PBP_B A

(66.5)

2-Natija. Bir necha hodisalar ko’paytmasining ehtimolligi har bir avvalgi
hodisalar ro’y berganda keyingi hodisaning shartli ehtimolligining ko’paytmasiga tengdir, ya’ni

PA A  A
 PA P A  P
^{A }. (66.6)

1 2 n
1 A₁ 2
A₁A_n1 n

(66.6) formula matematik induksiya usuli bilan isbotlanadi.

Agar B hodisa A hodisaga bog’liq bo’lmasa,
P_A B  PB
tenglik o’rinli

bo’ladi. U holda (66.3) tenglikka asosan ^{PAPB  PBP}_B ^A ekanligi kelib
chiqadi, bundan ^P_B ^{A  PA} tenglikni hosil qilamiz. Demak, B hodisaning A
hodisaga bog’liq bo’lmasligi, A hodisaning B hodisaga bog’liq bo’lmasligini keltirib chiqaradi. Shunday qilib, (66.2) formuladan

PAB  PAPB
(66.7)

ekanligi kelib chiqadi. (66.7) formula o’zaro bog’liq bo’lmagan hodisalar

ko’paytmasining ehtimolligini ifodalaydi.
Bir necha hodisalar o’zaro bog’liq bo’lmasligi uchun, har bir hodisa qolgan hodisalarning har qanday gruppasi bilan o’zaro bog’liq bo’lmasligi kerak, ya’ni hodisalarning o’zaro juft-jufti bilan bog’liq bo’lmasligi hodisalarning o’zaro bog’liq bo’lmasligini ifodalamaydi.
Masalan, uchta A, B, C hodisalarning o’zaro bog’liq bo’lmasligi uchun A va B, A va C, B va C hodisalarning bog’liq bo’lmasligi yetarli emas, yana A va BC, B va AC, C va AB hodisalar ham o’zaro bog’liq bo’lmasligi shart, ana shunday
hodisalar uchun
PABС  PAPBPС
tenglikni yozish mumkin.
Ixtiyoriy n ta o’zaro bog’liq bo’lmagan hodisalar uchun

1

1

2

2

n
PA A  A  PA PA PA 
n
tenglik o’rinlidir.

4. 
   Misol. Ikkita tanga bir vaqtda tashlanganda ikkalasida ham gerb tushishi ehtimoli topilsin.
   

Yechish.

A – birinchi tangada gerb tushishi hodisasi;
B – ikkinchi tangada gerb tushishi hodisasi;

AB – ikkala tangada bir vaqtda gerb tushishi hodisasi bo’lsin. U holda
PA  ¹ ,
2

PB  ¹ _,
2
^{PAB  1} . Demak,
4

PAB  ¹  ¹  ¹  PAPB_.

4 2 2

A va B hodisalar o’zaro bog’liq bo’lmagan hodisalar ekan.