10-mavzu funksiya tushunchasi. Funksiyaning aniqlanish va o’zgarish sohalari. Funksiya grafigi reja: Funksiya va u bilan bog‘liq tushunchalar

11-TA’RIF: Agar у=f(x) funksiya biror D sohaning har bir x nuqtasida o‘zgarmas 
C soniga teng bo‘lsa, u D sohada o‘zgarmas funksiya deyiladi. 
Masalan, x

(−∞,∞) sohada f(x)=sin
2
x+cos
2
x=1, x

(–∞,0) sohada  
f(x)=x/|x|=–1 o‘zgarmas funksiya bo‘ladi. 
Murakkab va teskari funksiyalar. Funksiyalar bilan bog‘liq yana ikkita 
tushunchani kiritamiz. 
12-TA’RIF: Agar z=

(x) funksiya X→Z , у=f(z) esa Z→Y akslantirishni 
ifodalasa , unda у=f(

(x)) funksiya X→Y akslantirishni ifodalaydi va murakkab 
funksiya dеb ataladi. Bu yеrdа 

ichki, fesa tashqi funksiya deyiladi. y=f(

(x)) 
murakkab funksiya f va 

funksiyalarning superpozitsiyasi deb ham aytiladi. 
Masalan, у=sinx
2
murakkab funksiya bo‘lib, unda 

(x)=х
2
ichki, f(

)=sin

esa tashqi funksiya bo‘ladi. у=sin
2
x murakkab funksiyada esa 

(x)=sinx ichki, 
f(

)=

2
tashqi funksiya bo‘ladi.
13-TA’RIF: Aniqlanish sohasi D{f} va qiymatlar sohasi E{f} bo‘lgan 
у=f(x) funksiya uchun har bir y

E{f} soniga f(x)=y shartni qanoatlantiradigan 
yagona х

D{f} sonini mos qo‘yadigan х=

(у) funksiya mavjud bo‘lsa, u berilgan 
f funksiyaga teskari funksiya dеb ataladi. 
Berilgan f funksiyaga teskari funksiya f
--1
kabi belgilanadi. Bunda f
—1
faqat 
belgilash bo‘lib, u 1/f degan ma’noni ifodalamasligini ta’kidlab o‘tamiz.
Odatda argumеnt х, funksiya esa у orqali belgilanganligi uchun, у=f(x) 
funksiyaga teskari х=

(у) funksiya y=

(x) yoki у=f
--1
(x) ko‘rinishda yoziladi.
Agar у=f(x) funksiya o‘suvchi yoki kamayuvchi bo‘lsa ,unga teskari funksiya 
у=f
--1
(x) mavjudligini va uni f(у)=х tenglama yechimi kabi topishimiz mumkinligini 
isbotlash mumkin. Masalan, f(x)=3х–1 bo‘lsa, unda 3у

1=х tenglamadan teskari 
funksiya f
--1
(х)=(a+1)/3 ekanligini aniqlaymiz. 

---

127 
Shuni ta’kidlab o‘tish kerakki, o‘zaro teskari funksiyalar uchun D{f}=E{f
–1
} va 
E{ f}=D{f
–1
}, f [f 
-1
(х)]=x va f 
-1
[f (х)]=x munosabatlar o‘rinli bo‘ladi. Bundan 
tashqari ularning grafiklari y=x to‘g‘ri chiziqqa nisbatan simmetrik bo‘ladi 
Asosiy elementar va elementar funksiyalar. Maktab matematikasidan 
bizga ma’lum bo‘lgan quyidagi funksiyalarni eslatib o‘tamiz:
 Darajali funksiya. Bu funksiya у=х

ko‘rinishda bo‘lib, o‘zgarmas 
daraja ko‘rsatkichi

R bo‘ladi. Masalan,
darajali funksiyalardir. Darajali funksiyaning xossalari 

daraja ko‘rsatkichi 
qiymatiga bog‘liq bo‘ladi. Masalan, 

musbat butun son bo‘lsa, f(x)=х

aniqlanish 
sohasi D{f}=(−∞,∞), qiymatlar sohasi esa toq

uchun E{f}=(−∞,∞), juft

uchun E{f}=[0,∞) bo‘ladi. Agar 

manfiy butun son bo‘lsa, f(x)=х

aniqlanish 
sohasi D{f}={x: x≠0}, qiymatlar sohasi esa E{f}=(−∞,∞) bo‘ladi. Bundan 
tashqari 

juft son bo‘lsa, f(x)=х

juft, 

toq bo‘lsa toq funksiya bo‘ladi.
 Ko‘rsatkichli funksiya. Bu funksiya у=а
х
ko‘rinishda va unda daraja 
asosi a>0 va a

1 shartni qanoatlantiruvchio‘zgarmas son bo‘ladi. Masalan, у=3
х
, 
у=(1/10)
х
, y=e
x
ko‘rsatkichli funksiyalardir. Bu funksiya uchun D{f}=(−∞,∞), 
E{f}=(0,∞) bo‘ladi. Agar a>1 bo‘lsa, f(x)=а
х
o‘suvchi, 0<a<1 bo‘lsa kamayuvchi 
funksiyaga ega bo‘lamiz.
 Logarifmik funksiya. Bu funksiya у=log
a
x, (a>0, a

1), ko‘rinishda 
bo‘lib, у=а
х
ko‘rsatkichli funksiyaga teskari funksiyani ifodalaydi.
Masalan, у=log
2
x, y= log 
0.8 
x , у= log
10
x =lgx, у= log
e
x =lnx logarifmik 
funksiyalardir. Logarifmik f(x)=log
a
x funksiya uchun D{f}=(0,∞), E{f}=(−∞,∞) 
bo‘ladi. Agar logarifm asosi a>1 bo‘lsa, f(x)=log
a
x o‘suvchi, 0<a<1 holda esa 
kamayuvchi bo‘ladi. 
 Trigonometrik funksiyalar. Bular y=sinx, y=cosx, y=tgx va y=ctgx 
funksiyalardan iborat. Bu yerda f(x)=sinx va f(x)=cosx funksiyalar uchun 
D{f}=(−∞,∞) va E{f}=[0,1] bo‘lib, ular T=2π davrli va chegaralangan bo‘ladi. 
Bunda f(x)=sinx─toq, f(x)=cosx─juft funksiyalardir. 
f(x)=tgx va f(x)=ctgx funksiyalarning aniqlanish sohalari mos ravishda D{f}={x: 
x≠(2k+1)π/2, k

Z} va D{f}={x: x≠kπ, k

Z }, qiymatlar sohasi E{f}=(−∞,∞) 
bo‘ladi. Bu funksiyalar T=π davrli, toq va chegaralanmagan bo‘ladi.
 Teskari trigonometrik funksiyalar. Bularga y=arcsinx, y=arccosx, 
y=arctgx, y=arcctgx funksiyalar kiradi.Ular mos trigonometrik funksiyalarga 
1
2
1
2
0
1
,
,
,
1








x
x
y
x
х
y
x
y
x
y

---

128 
teskari bo‘ladi. f(x)=arcsinx va f(x)=arccosx uchun D{f}=[–1,1], qiymatlar sohasi 
esa mos ravishda E{f}=[–π/2, π/2] va E{f}=[0, π] bo‘ladi. f(x)=arctgx va 
f(x)=arcctgx uchun D{f}=(−∞,∞), qiymatlar sohasi esa mos ravishda E{f}=(–π/2, 
π/2) va E{f}=(0, π) bo‘ladi. Bundan tashqari f(x)=arcsinx va f(x)=arctgx toq 
funksiyalardir. 
14-TA’RIF: 1-5 funksiyalar asosiy elеmеntar funksiyalar dеb ataladi. 
Chekli sondagi asosiy elеmеntar funksiyalar ustida chekli sondagi arifmetik va 
superpozitsiallash amallari orqali hosil qilingan funksiyalar elеmеntar funksiyalar 
deyiladi. Masalan , y=2lnsinx+x
2
/5, y=a
x
ln(x+1) elеmеntar funksiya bo‘ladi. у={х} 
va у=[х] elеmеntar bo‘lmagan funksiyalarga misol bo‘ladi. 
Funksiyalarning ayrim iqtisodiy tatbiqlari. Iqtisodiyotning nazariy va 
amaliy masalalarini o‘rganishda funksiyalardan keng foydalaniladi. Masalan, 
ishlab chiqarish funksiyasi (ishlab chiqarish natijalarini turli omillarga 
bog‘liqligi), xarajatlar funksiyasi (ishlab chiqarilgan mahsulot hajmi bilan 
xarajatlar o‘rtasidagi bog‘lanish), talab funksiyasi (mahsulotga talab hajmi va 
narx, foyda kabi turli omillar orasidagi bog‘lanishlar) kabi funksiyalar 
iqtisodiyotda ko‘p qo‘llaniladi.
Yana bir misol sifatida aholining daromadi x va uning turli tovarlarga ehtiyoji 
y orasidagi bog‘lanishlarni o‘rganish uchun shved iqtisodchi olimi Tornkvist 
tomonidan taklif etilgan quyidagi funksiyalarini qaraymiz: 
 
, y 

inson hayoti uchun I navbatda zarur 
bo‘lgan oziq-ovqat mahsulotlari, kiyim-kechak kabi tovarlarga ehtiyoj ; 
 
, y

inson hayoti uchun II navbatda zarur 
bo‘lgan televizor, mebel, kosmetika kabi tovarlarga ehtiyoj ; 
 
, 
y

avtomobil, 
tilla 
bezaklar,dala 
hovlisi kabi qimmatbaho buyumlarga ehtiyoj . 
Bu funksiyalar quyidagi iqtisodiy qonuniyatlarni ifodalaydi: 
 Daromad x ma’lum bir b, d yoki m qiymatdan oshgandan keyin tegishli 
tovarlarni xarid etish mumkin ; 
 Daromad x oshib borishi bilan I va II navbatda zarur bo‘lgan tovarlarga 
ehtiyojni ifodalovchi y funksiya o‘sishi sekinlashibdi ; 
)
(
)
(
b
x
c
x
b
x
a
y




)
(
)
(
b
d
x
c
x
d
x
a
y





)
(
b
d
m
x
c
x
m
x
ax
y







---

129 
 I va II navbatda zarur bo‘lgan tovarlarga ehtiyojni ifodalovchi y 
yuqoridan a soni (to‘yinish nuqtasi) bilan chegaralangan, chunki 
ularning iste’moli cheksiz o‘sishi mumkin emas; 
 Daromad x oshib borishi bilan qimmatbaho buyumlarga ehtiyoj ham 
o‘sib boradi va yuqoridan chegaralanmagan .