10. Oshkormas funksiya tushunchasi

3⁰. Oshkormas funksiyaning hosilalari. Oshkormas funksiyaning hosilasini aniqlaydigan teoremani keltiramiz.
2-teorema. Faraz qilaylik, funksiya nuqtaning biror atrofi da berilgan bo‘lib, quyidagi shartlarni bajarsin:
1) da uzluksiz;
2) da uzluksiz xususiy hosilalarga ega va ;
3) .
U holda nuqtaning shunday atrofi topiladiki, tenglama ni ning oshkormas funksiyasi sifatida aniqlaydi va bu funksiya da uzluksiz differensial-lanuvchi bo‘lib,

bo‘ladi.
◄Teoremaning shartiga ko‘ra funksiya da uzluksiz va . Aytaylik, bo‘lsin. Uzluksiz funksiya xossasiga ko‘ra nuqtaning shunday atrofi topiladiki, da bo‘ladi. Bundan esa har bir tayin da funksiya o‘zgaruvchining funksiyai sifatida o‘suvchi bo‘lishi kelib chiqadi. U holda 1-teoremaga ko‘ra tenglama da ni ning oshkormas funksiyasi sifatida aniqlaydi va oshkormas funksiya da uzluksiz bo‘lib, bo‘ladi.
Aytaylik, bo‘lsin. Ravshanki,

bo‘lib,
(4)
bo‘ladi.
Teoremaning shartidan funksiyaning nuqtada differensialanuvchi bo‘lishi kelib chiqadi. Binobarin,
(5)
bo‘lib, da bo‘ladi.
(4) va (5) munosabatlardan topamiz:
.
Keyingi tenglikda da limitga o‘tsak, unda

hosil bo‘ladi.
da xususiy hosilalar uzluksiz va bo‘lishidan oshkormas funksiyaning hosilasi

ning da uzluksiz bo‘lishi kelib chiqadi.►
4-misol. Ushbu

tenglama nuqtaning atrofida ni ning oshkormas funksiyasi sifatida aniqlashi va bu oshkormas funksiya-ning hosilasi topilsin.
◄ Ravshanki,

funksiya da aniqlangan va uzluksiz. Binobarin, u nuqtaning atrofida uzluksiz, funksiyaning xususiy hosilalari quyidagicha bo‘ladi:

.
Demak, funksiyaning xususiy hosilalari da, jumladan nuqtaning atrofida uzluksiz.
So‘ng
.
Va nihoyat,

bo‘ladi. Unda 2- teoremaga ko‘ra

tenglama nuqtaning atrofida ni ning oshkormas funksiyasi sifatida aniqlaydi va bu oshkormas funksiyaning hosilasi

bo‘ladi.►