10. Ҳосилага эга бўлган функциялар ҳақидаги теоремалар

2⁰. Функция ҳосиласиниг узилиши ҳақида. Фараз қилайлик, функция нинг нуқтасидан бошқа барча нуқталарида ҳосилага эга бўлиб, функция нуқтада узлуксиз бўлсин.
Агар лимит мавжуд бўлса, у ҳолда функция нуқтада чап ҳосила га эга бўлиб, бўлади.
Агар лимит мавжуд бўлса, у ҳолда функция нуқтада ўнг ҳосила га эга бўлиб, бўлади.
◄ Айтайлик, ва бўлсин. Лагранж теоремасидан фойдаланиб топамиз:
.
Энди

мавжуд бўлсин дейлик. Унда

бўлиб,
да
яъни
да
бўлади. Демак, . Шунга ўхшаш, бўлиши кўрсатилади. ►
Айтайлик, функция нуқтада ҳосилага эга бўлсин. Унда, равшанки,

бўлади. Айни пайтда,

лимитларниг мавжуд ва чекли бўлишидан

бўлиши келиб чиқади. ►
Бундан қуйидаги хулоса келиб чиқади: агар функция да ҳосилага эга бўлса, у ҳолда бу ҳосила биринчи тур узилишга эга бўлолмайди.
Бошқача айтганда ҳар бир нуқтада функция ёки узлуксиз бўлади, ёки иккинчи тур узилишга эга бўлади. ►
4-мисол. Ушбу

функцияни қарайлик.
◄ бўлганда

бўлади.
бўлганда, ҳосила таърифига кўра

бўлади.
Демак, функция да аниқланган ва да узлуксиз бўлади. ҳосила нуқтада иккинчи тур узилишга эга бўлади, чунки да

функция лимитга эга эмас. ►