10. Parametrga bog‘liq xosmas integral tushunchasi

2⁰. funktsiyaning uzluksizligi. Aytaylik, funktsiya

to‘plamda berilgan bo‘lsin.
2-teorema. Agar funktsiya to‘plamda uzluksiz bo‘lib,

integral da tekis yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda funktsiya da uzluk­siz bo‘ladi.
◄Ixtiyoriy , nuqtalarni olib, funk­­tsiyaning orttirmasini topamiz:
.
Shartga ko‘ra integral da tekis yaqinla-shuvchi. Unda
:
(5)
bo‘ladi. Ravshanki, funktsiya

to‘plamda tekis uzluksiz bo‘ladi. Unda

(6)
bo‘ladi. Agar deyilsa uning uchun (5) va (6) teng­siz­lik­lar bir yo‘la bajariladi. (5) va (6) munosabatlarni e’tiborga olib topamiz:

Demak,
.
Bu esa funktsiyaning oraliqda uzluksizligini bil­di­radi. ►
2-misol. Ushbu

integral parametr ning uzluksiz funktsiyasi bo‘lishi ko‘rsa­tilsin.
◄ Berilgan integralda

almashtirish bajaramiz. Unda

bo‘lib, bu yig‘indining har bir qo‘shiluvchisi ning uzluksiz funktsiyasi bo‘lgani uchun berilgan integral parametr ning uzluksiz funktsiyasi bo‘ladi. ►
3⁰. funktsiyani differentsiallash. Faraz qilaylik funktsiya to‘plamda berilgan bo‘lsin.
3-teorema. funktsiya quyidagi shartlarni qanoatlan­tir­sin:
1) funktsiya to‘plamda uzluksiz;
2) xususiy hosila mavjud va u to‘plamda uzluksiz;
3) Har bir tayin da

integral yaqinlashuvchi;
4) Ushbu

integral da tekis yaqinlashuvchi.
U holda funktsiya da hosilaga ega va

bo‘ladi.
◄ nuqtalarni olib, topamiz:
.
Lagranj teoremasiga ko‘ra
, ,

bo‘ladi. Demak,
. (7)
Shartga ko‘ra funktsiya to‘plamda uzluksiz. Kantor teoremasiga binoan u

to‘plamda tekis uzluksiz bo‘ladi. Unda


bo‘ladi. Demak da funktsiya ga tekis yaqinlashadi. Shartga ko‘ra

integral tekis yaqinlashuvchi. Unda
, , :

jumladan,

bo‘ladi. Keyingi tengsizlikning bajarilishidan esa

integralning tekis yaqinlashuviligi kelib chiqadi. Ushbu ma’ruzada keltirilgan 1-teoremani (7) tenglikning o‘ng tomoniga qo‘llab, topamiz.
. (8)
(7) va (8) munosabatlardan
(9)
bo‘lishi kelib chiqadi.
(9) munosabatni quyidagicha ham yozish mumkin:
.
Bu differentsiallash amalini integral ostiga o‘tkazish qoidasini ifo­dalay­di. ►