10. Parametrga bog‘liq xosmas integral tushunchasi

77-ma’ruza
Parametrga bog‘liq xosmas integrallar


1⁰. Parametrga bog‘liq xosmas integral tushunchasi. Faraz qilay­lik, funktsiya

to‘plamda berilgan bo‘lsin. Bu funktsiya har bir tayin da o‘zgaruvchining funktsiyasi sifatida da integral­la­nuvchi, ya’ni

xosmas integral yaqinlashuvchi. Ravshanki, integralning qiymati o‘zgaruvchiga bog‘­liq bo‘ladi:
. (1)
Masalan, bo‘lganda

bo‘ladi. Demak, bu holda

bo‘ladi.
(1) integral parametrga bog‘liq chegarasi cheksiz xosmas integral, esa parametr deyiladi.
Xuddi shunga o‘xshash

parametrga bog‘liq xosmas integrallar tushunchalari kiriti­ladi.
Aytaylik, funktsiya

to‘plamda berilgan bo‘lsin. Bu funktsiya har bir tayin da o‘zga­ruvchining funktsiyasi sifatida qaralganda uning uchun max­sus nuqta bo‘lib, u da integrallanuvchi, ya’ni

xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lsin. Ravshanki, bu holda ham integralning qiymati o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘ladi:
. (2)
Masalan, bo‘lganda

bo‘ladi. Demak, bu holda

bo‘ladi.
(2) integral parametrga bog‘liq, chegaralanmagan funk­tsiya­ning xosmas integ­ra­li, esa parametr deyiladi.
Umumiy holda, parametrga bog‘liq, chegaralanmagan funk­tsiya­ning chegarasi cheksiz integrali tushunchasi ham yuqori­dagidek kiritiladi.
Parametrga bog‘liq xosmas integrallarning funktsional xos­salari (limiti, uzluksizligi, differentsiallanishi integ­ral­lanishi)ni

integral uchun keltirish bilan kifoyalanamiz.
2⁰. Integralning tekis yaqinlashishi. Aytaylik, funktsiya

to‘plamda berilgan bo‘lib, har bir tayin da

xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lsin. Ta’rifga binoan

bo‘ladi.
Natijada berilgan funktsiya yordamida

funktsiyalar yuzaga keladi va

munosabat bajariladi.
Demak, funktsiya da limit funktsiya ga ega bo‘ladi.