10. Parametrga bog‘liq xosmas integral tushunchasi

1⁰. funktsiyaning limiti. Aytaylik, funktsiya

to‘plamda berilgan, esa Ye to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin.
1-teorema. funktsiya qo‘yidagi shartlarni bajar-sin:
1) har bir tayin da funktsiya o‘zgaruvchining funk­tsiyasi sifatida da uzluksiz;
2) da funktsiya ixtiyoriy da limit funktsiya ga tekis yaqinlashsin;
3) ushbu integral Ye to‘plamda tekis yaqinla­shuvchi bo‘lsin. U holda da funktsiya limitga ega va

bo‘ladi.
◄Teoremaning 1- va 2- shartlarining bajarilishidan funktsiyaning da uzluksiz bo‘lishini topamiz. Binobarin, ixtiyoriy da integrallanuvchi bo‘ladi.
Modomiki,

integral to‘plamda tekis yaqinlashuvchi ekan, unda 77-ma’ruza­dagi 1-teoremaga ko‘ra
, , :

bo‘ladi.
Keyingi tengsizlikda, da limitga o‘tsak, u holda



tengsizlik hosil bo‘ladi. Bundan funktsiyaning da in­teg­ral­la­nuv­chiligi kelib chiqadi.
Ushbu

ayirmani qaraymiz. Uning uchun quyidagi tengsizlik baja­ri­ladi:
. (1)
Bu tengsizlikning o‘ng tomonidagi qo‘shiluvchilarni baho­lay­miz. integral to‘plamda tekis yaqinlashuv-chi bo‘l­gan­ligi sababli,

(2)
bo‘ladi.

integral yaqinlashuvchi bo‘lganligi sababli

(3)
bo‘ladi.
Ravshanki, da (2) va (3) tensizliklar bir yo‘la baja­ri­ladi. Funktsiya da da limit funktsiya ga tekis yaqin­lashuvchi bo‘lganligi sababli

(4)
bo‘ladi.
(1), (2), (3) va (4) munosabatlardan

bo‘lishi kelib chiqadi. Demak
. ►
Keyingi tenglikni quyidagicha ham yozish mumkin
.
1- misol. Ushbu

tenglik isbotlansin.
◄ Agar funktsiyaning nuqtadagi qiymati-ni deb olinsa, unda

funktsiya to‘plamda uzluksiz bo‘ladi.
Ravshanki, har bir tayin da funktsiya o‘zgaruvchining funktsiyasi sifatida da uzluksiz bo‘lib, da bu funktsiya ixtiyoriy da funk­tsiyaga tekis yaqinlashadi.
Endi,

xosmas integralni parametr bo‘yicha da tekis yaqinla­shuvchi bo‘lishini ko‘rsatamiz.
Agar 77-ma’ruzada keltirilgan Abel alomatida funk­tsiya sifatida , funktsiya sifatida funk­tsiya­lar olinsa, ular uchun Abel aloma­ti­ning barcha shartlarining o‘rin­li bo‘lishini ko‘rsatish qiyin emas. Demak, alomat­ga ko‘ra



integral tekis yaqinlashuvchi.
Yuqorida keltirilgan 1-teoremaga binoan

bo‘lib, undan

bo‘lishi kelib chiqadi. ►