10. Parametrga bog‘liq xosmas integral tushunchasi

2⁰. integralni hisoblash. Bu integralning da yaqinlashuvchi bo‘lishi ravshan. Aytaylik, bo‘l­sin. Bu holda integralda almashtirish bajarib topamiz:
.
Aytaylik, bo‘lsin. Bu holda qaralayotgan integralda almashtirish bajarib topamiz:
.
Aytaylik, bo‘lsin. Bu holda

bo‘ladi. Demak,

ya’ni,

bo‘ladi.
3⁰. integralni hisoblash. Avvalo bu parametrga bog‘­liq xosmas integ­ralni yaqinlashuvchilikka tekshiramiz. Uning uchun berilgan integralni quyida­gicha yozib olamiz:
. (3)
Aytaylik, bo‘lsin. Bu holda

bo‘lib, da ushbu

integralning yaqinlashuvchi bo‘lganligidan, da

integralning ham yaqinlashuvchi bo‘lishi kelib chiqadi.
Aytaylik, bo‘lsin. Bu holda

bo‘lib, da ushbu

integralning yaqinlashuvchi bo‘lganligidan, da

integralning ham yaqinlashuvchi bo‘lishi kelib chiqadi.
Demak, qaralayotgan

integral da yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Endi integralni hisoblaymiz. Ma’lumki, da
.
Bu tenglikdan

bo‘lishini topamiz. Tenglikning o‘ng tomonidagi qator da tekis yaqinlashuvchi bo‘lib, uning qismiy yig‘indisi

bo‘ladi.
Agar uchun

tengsizlikni hamda integralning yaqinlashuv­chan­ligini e’ti­bor­ga olsak, unda Veyershtrass alomatiga ko‘ra

tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Demak,

ya’ni,

bo‘ladi.
Demak,
. (4)
Endi

integralda almashtirish bajarsak, unda

bo‘lib, yuqoridagi (4) munosabatga ko‘ra
(5)
bo‘ladi. (3), (4) va (5) munosabatlardan

bo‘lishi kelib chiqadi.
Ma’lumki,

(qaralsin, 76-ma’ruza).
Demak,

bo‘ladi.