10. Parametrga bog‘liq xosmas integral tushunchasi

4⁰. funktsiyani integrallash. Aytaylik, funktsiya

to‘plamda berilgan bo‘lsin.
4-teorema. Agar funktsiya to‘plamda uzluksiz va integral da tekis yaqinlshuvchi bo‘lsa, u holda funktsiya da integrallanuvchi va

bo‘ladi.
◄Ravshanki, funktsiya da uzluksiz bo‘ladi. Binobarin, u da integrallanuvchi.
Shartga ko‘ra

integral da tekis yaqinlashuvchi. Unda
, , :

bo‘ladi Shu munosabatdagi ni olib topamiz:
.
Natijada


bo‘ladi.
Agar

bo‘lishini e’tiborga olsak, unda

bo‘lib,

ekanligi kelib chiqadi. ►
79-ma’ruza
Ba’zi xosmas integrallarni hisoblash

Parametrga bog‘liq integrallar va ularning funktsional xossalaridan foy­da­lanib, ba’zi xosmas integrallarni hisob­lay­miz.

1⁰. integralni hisoblash. Bu integralning yaqinlashuv­chi­ligi 77-ma’ru­zada keltirilgan.
Ma’lumki,
. (1)
Bu tenglikdagi

parametrga bog‘liq integral parametr bo‘yicha ixtiyoriy da tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bu tasdiq
,
bo‘lishi hamda Veyershtrass alomatini qo‘llashdan kelib chiqadi. (1) tenglikni integ­rallab topamiz:
.
Bu tenglikni chap tomonidagi integral uchun

va da bo‘lib,

bo‘ladi. Natijada da
(2)
bo‘lishi kelib chiqadi.
Endi

tenglikni o‘rinli ekanini (qaralsin, 78-ma’ruza) e’tiborga olib (2) da da limitga o‘tib topamiz:
.