11-mavzu: boshlang‘ich funksiya va aniqmas integral. Intеgrallar jadvali

Izoh: VI xossa chekli sondagi funksiyalarning algebraik yig‘indisi uchun ham o‘rinli bo‘ladi.
3-TA’RIF: V va VI xossalar aniqmas integralning chiziqlilik xossalari deyiladi.
Aniqmas integralning chiziqlilik xossalarini bitta
(3)
tenglik orqali ham ifodalash mumkin.

7. 
   Agar a va b o‘zgarmas sonlar bo‘lsa, unda quyidagi tasdiq o‘rinlidir:
   

.
Isbot: Ikkinchi integral javobi to‘g‘riligini differensiallash orqali ko‘rsatamiz. Shartga ko‘ra F′(x)=f(x) bo‘lgani uchun va murakkab funksiya hosilasi formulasiga asosan
.
Masalan,
.

3. 
   Integrallar jadvali. Hosilalar jadvali (VIII bob, §2), oldin hisoblangan hosilalar va aniqmas integral ta’rifidan foydalanib, asosiy integrallar jadvalini yozamiz. Bunda aniqmas integral javobining to‘g‘riligini tenglikning o‘ng tomonidan hosila olish orqali tekshirish mumkin. Natijada integral ostidagi funksiya hosil bo‘lishi kerak. Masalan,
   

integral javobi to‘g‘riligini tekshiramiz. Murakkab funksiya hosilasi formulasiga asosan
.
Differensiallash natijasida integral ostidagi funksiya hosil bo‘ldi. Demak, integral javobi to‘g‘ri ko‘rsatilgan.
INTEGRALLAR JADVALI
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
11.
12.
13.
14.
15. 16.
17. 18.
Bu jadval, integralning ko‘rib o‘tilgan xossalari va kelgusida qaraladigan integrallash usullaridan foydalanib juda ko‘p integrallarni hisoblash mumkin.
Shunday qilib, aniqmas integralni hisoblashning umumiy usuli mavjud bo‘lmasdan, har bir integral o‘ziga xos bir usulda topilishi mumkin. Ammo ma’lum bir hollar uchun integralni hisoblash usullari ishlab chiqilgan va ular bilan tanishishga o‘tamiz.

1. 
   Yoyish usuli. Bu usulda dastlab berilgan integral ostidagi murakkabroq f(x) funksiya soddaroq (masalan, integrallari bevosita jadval orqali topiladigan) f_k(x) (k=1,2,…,n) funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasiga yoyiladi. So‘ngra bu chiziqli yoyilma integrali oldingi paragrafda ko‘rilgan integralning chiziqlilik xossalaridan foydalanilib hisoblanadi. Bu usulni matematik ko‘rinishda quyidagicha ifodalash mumkin:
   

(1)
Misol sifatidabu usulda quyidagi integrallarni hisoblaymiz:

• 
  
  

;

• 
  
  

;

• 
  
  

.
Bu asosiy integrallar jadvalidagi 17-integral ekanligini eslatib o‘tamiz.

2.