11-Mavzu: Chiziqli fazo. Yevklid fazosi: Chiziqli fazoning ta’rifi va misollar. Chiziqli fazoning o’lchovi va bazis. Chiziqli fazo elementini bazis bo’yicha yoyish. Chiziqli fazoning qism fazolari. Yevklid fazosining ta’rifi

L₁ ^va L₂
qism fazolarning to`g`ri yig`indisidan iborat

bo`lishi uchun , ularning kesishmasi faqat nol elementdan va R ni o`lchovi
L₁ ^va

L₂ fazolar o`lchovlari yig`indisidan iborat bo`lishi etarli.
Endi n o`lchovli chiziqli fazoda bazis o`zgarganda koordinatalarni o`zgarishi
va bazislarni almashtirishni qaraylik.

e ,e ,...,e va ^{e1 ,e1 ,..., e1}
lar n o`lchovli R chiziqli fazodagi 2 ta ixtiyoriy bazislar

1 2 n ^{1 2 n}

bo`lsin. R fazoning ixtiyoriy elementi har ikki bazis orqali ham ifodalanadi. Faraz

qilaylik
^{e1 ,e1 ,..., e1} elementlar e ,e ,...,e
lar orqali quyidagicha ifodalansin:

^{1 2 n} 1 2 n

e¹ a e a e
...
a e ,

1 11 1
12 2
1n n

a

1

e
2 21^e1 ^a22^e2 ^...
a_{2 n}e_n ,


(1)

.......... .......... .......... .......

e¹ a e a e
...
a e .

n n1 1
n 2 2
nn n

21. 
    holda birinchi
    

e ,e ,...,e ^{bazisdan e1 ,e1 ,..., e1}
bazisga o`tish matritsasi

1 2 n ^{1 2 n}

quyidagi ko`rinishda bo`ladi:
^a11


^a12

...

^a1n

_A ^a21
...
^an1
^a22
...
^an 2
...
...
...
^a2 n
...
^ann
(2)

^{Bu matritsaning} d ^{determinanti noldan farqli ikkinchi bazisdan birinchi bazisga}
o`tish matritsasi B A matritsaga teskari matritsa bo`ladi. Ma`lumki, A matritsaga

teskari matritsa

A₁₁ / d
_B A₁₂ / d
...
A_1n / d
A₂₁ / d A₂₂ / d
...
A_{2 n} / d
...
...
...
...
A_n1 / d A_{n 2} / d
...
A_nn / d

^Aij
esa A matritsaning
a_ij elementining algebraik to`ldiruvchisi.

(1) ning birinchi tenhligini
^A1 j
ga, ikkinchisini
^A2 j
ga va hakazo n -sini esa
^Anj

ko`paytirib, so`ngra ularni qo`shib quyidagi tenglikni hosil qilamiz.

e¹ A
e¹ A
n
e (a A a A
....
a A )

1 1 j
2 2 j
nj i
i 1
1i 1 j
2i 2 j
ni nj

i ustun elementlarini mos j ustun algebraik to`ldiruvchisiga ko`paytmalari

yig`indisi i
j bo`lganda nolga tengligini hisobga olsak ( i j
da d ga teng)

Oxirgi tenglikdan
e¹ A


e¹ A

bundan

1. 
   1 j
   
2. 
   2 j nj
   

e

1

e
^ej 1
yoki
¹ ....
e¹ , j
1,2,..., n

n

2
_e ^A11 _e^1
A21 _e¹
....
e¹ ,

1. 
   _d 1 _d 2 n
   

_e ^A12 _e^1
A22 _e¹
....
e¹ ,

2. 
   _d 1 _d 2 n
   

(4)

e
.......... .......... .......... .......... ....

e

e

e
1 1
n 1 2
.... ¹

n
(4) formula
^{e1 ,e1 ,..., e1 bazisdan} e ,e ,...,e
bazisga o`tish matritsasi A matritsaga

^{1 2 n} 1 2 n
teskari matritsa orqali o`tishni ifodalaydi. Bu ^A matritsaga teskari matritsani A ¹
orqali belgilaymiz.
Bazis almashritganda koordinatalar orasidagi munosabat.

Maxsusmas (2) matritsa orqali
e ,e ,...,e ^{bazisdan e1 ,e1 ,..., e1}
bazisga o`tilgan

1 2 n ^{1 2 n}

bo`lsin. U holda bazislarni teskari almashtirishiga (3) matritsa mos keladi x

qaralayotgan R chiziqli fazoning ixtiyoriy elementi bo`lsin.
(x₁ , x₂ ,...,x_n )
esa uni

e ,e ,...,e
bazisdagi koordinatasi
(x¹ , x¹ ,...,x¹ )
esa
e¹ ,e¹ ,..., e¹
bazisdagi

1 2 n
1 2 n
1 2 n

koordinatasi bo`lsin, ya`ni

x x¹e¹
_x1_e1
...
x¹ e¹ x e
x e ... x e

1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n

e₁ ,e₂ ,...,e_n
lar o`rniga ularni (4) dagi ifodalarini qo`yib

x x¹e¹


_x1 _e1


...


_x1 _e1
x ( ^A11 e^1
A21 _e¹


...


e¹ )

1 1 2 2
n n 1 _d 1 _d 2 n

x ( ^A12 e^1
A22 _e¹


...


e¹ )


...
x ( ^A1n e¹


e¹ ...


e¹ ).

2 _d 1 _d 2 n n _d 1 2 n

Oxirgi tenglikdan
e¹ ,e¹ ,..., e¹
bazis bo`yicha yagona yoyilma o`rinli ekanligidan

1 2 n

(x , x ,...,x ) koordinatadan ^{(x1 , x1 ,..., x1 )}
koordinataga o`tish formulasi kelib

1 2 n ^{1 2 n}

chiqadi:

1. 
   
   1
   
   x
   ^x1
   

x₂ ....
x_n ,

2. 
   
   1
   
   x
   ^x1
   

x₂ ....
x_n ,

(5)

.......... .......... .......... .......... ......

1

x
n ^x1
x₂ .... x_n

Tasdiq Ixtiyoriy maxsusmas A matritsa uchun teskari ^{Isboti Faraz qilaylik yana bir} C ^{matritsa mavjud va}
A ^{1 matritsa yagonadir}

bo`lsin U holda


CAA ¹
AC
C( AA
CA E
¹ ) CE C

bundan C
CAA ¹
A ¹ kelib chiqadi
(CA) A ¹
EA ¹ A ¹

4. 
   Evklid fazosi va uni sodda xossalari.
   

R haqiqiy chiziqli fazo haqiqiy evklid fazosi ( yoki evklid fazosi) deyiladi agarda quyidagi ikkita shart bajarilsa:

1. 
   Ushbu fazoning ixtiyoriy ikkita x va y elementlariga ularni skalyar
   

ko`paytmasi deb ataluvchi bo`lsa.
(x, y)
haqiqiy sonni mos qo`yish qoidasi berilgan

2. 
   Ushbu aniqlangan skalyar ko`paytma quyidagi to`rtta aksiomani
   

qanoatlantirsa:

1. (x, y)
y, x)
(o`rin almashtirishlik va simmetriklik xossasi).

2. (x₁
x₂ , y)
(x₁ , y)
(x₂ , y)
(tarqatish xossasi).

3. (
x, y)
(x, y)
barcha haqiqiy lar uchun.

4. (x, x)
0 , agarda x noldan farqli element bo`lsa;
(x, x)
0 , agar x nol

element bo`lsa.

Agar o`rganiladigan ob`ektlar va yoqorida sanalgan qoidalar berilgan bo`lsa , u holda evklid fazosi konkret (aniq) fazo deyiladi.
Evklid fazosiga misollar keltiramiz.

1. 
   misol. Barcha erkin vertorlarning
   

B₃ ^{chiziqli fazosini qaraylik.Ikkita}

ixtiyoriy vektorining skalyar ko`paytmasini analitik geometriyaga aniqlanga skalyar ko`paytma kabi kiritaylik( ya`ni bu vektorlar uzunligini ko`paytmasiga ular orasidagi burchak kosinusini ko`paytmasi).U holda ko`rish qiyin emaski

skalyar ko`paytmadagi 1- 4 xossalar bajariladi. Demak, skalyar ko`paytmaga nisbatan evklid fazosi bo`ladi.
B₃ ^{fazo ushbu aniqlangan}

2. 
   misol. Barcha
   

a x b
oraliqda aniqlangan va uzluksiz
x(t)

funksiyalarning
C[a,b]
cheksiz o`lchovli chiziqli fazosini qaraylik. Ikkita
x(t)

va y(t) funksiyalarning skalyar ko`paytmasini bu funksiyalarni ko`paytmasini ( a


^dan b ^{gacha ) integrali sifatida aniqlaymiz:}


b