11-mavzu. Differensial tenglamalarni taqribiy yechish usullari

RUNGE-KUTTA USULI
Ushbu kursini oʻqish jarayonida taʼkidlangan ediki, matematikaning differensial tenglamalar boʻlimi amaliy masalalardan kelib chiqqan. Shuning uchun ham (6) formulaga oʻxshash universal usullarni yaratish doimiy dolzarb muammo boʻlib kelgan. Ushbu muammoni yechishga turli xil soxa vakillari ham qoʻl urishgan. Bunga yaqqol misol bittasi fizik, bittasi astronom boʻlgan olimlar tomonidan yaratilgan Runge-Kutta usuli hisoblanadi. Ushbu usulning yaratilishiga asos boʻlib, (3) qator xizmat qildi. Eyler usuli (6) dan farqli ravishda, ular ikkita emas, balki beshta haddan foydalanishdi. Bundan tashqari Runge-Kutta usulida (3) qatorga kiradigan hosilalarni hisoblash talab etilmaydigan formulalar taklif etildi. Nazariy jihatdan ushbu formulalarning kelib chiqishiga toʻxtalmasdan, ishchi formulalarga toʻxtalamiz. Boʻlish qadami Eyler usulidagidek formula bilan aniqlanadi.
Qidirilayotgan funksiya qiymatlarini topish formulalari quyidagicha boʻladi:
(8)
.
Koʻrinib turibdiki, Runge-Kutta usulida har bir qadamda formal ravishda Eyler usuliga nisbatan 5 marotaba koʻp hisoblash hajmi oshib boradi. Runge-Kutta usulining har bir qadamdagi xatoligi tartibida boʻladi. Aynan shuning uchun ham birinchi tartibli differensial tenglamalar uchun Koshi masalasini taqribiy yechishda Runge-Kutta usuli asosiy usulga aylandi. Shuni eʼtiborga olish lozimki juda koʻp sonli usullar uchun tadbiq qilish dasturlari yaratilgan va bu dasturlar zamonaviy kompyuterlar operatsion sistemalarida mavjud. Ushbu dasturlarga murojaat soddalashtirilgan. Differensial tenglamaning oʻng tomoni f(x,y), boshlangʻich shart va aniqlikni berish kifoya.
Misol 2. =0.01 aniqlikda yechimini aniqlang?
Aytaylik h=0.25deb olsak, [0, 1.5] oraliqni 6 ta boʻlakka ajratamiz:

Boshlangʻich shartga koʻra





Demak

u holda ni topamiz. Ushbu jarayonni bir necha marotaba takrorlab, ning taqribiy qiymatini aniqlashimiz mumkin boʻladi.