11-mavzu. Differensial tenglamalarni taqribiy yechish usullari

11-mavzu.
Differensial tenglamalarni taqribiy yechish usullari (matematik paketlar yordamida)
Differensial tenglamalarni fizik va mexanik masalalarga tadbiq qila olish. Differensial tenglamalarni matematik paketlar yordamida yechish. Taqribiy yechish usullari. Teylor qatorlari yordamida yechish. Eyler usuli. Runge-Kutta usuli.
Differensial tenglamalar kursini oʻrganish jarayonida maxsus koʻrinishlarga ega boʻlgan differensial tenglamalarni yechish usullarini koʻrib chiqdik. Bu usullar juda koʻp boshqa holatlarni qamrab ololmaydi. Shuning uchun ham tenglama koʻrinishiga bogʻliq boʻlmagan universal usullarni qidirishga sabab boʻldi. Hisoblash mashinalarining rivojlanishi taqribiy sonli usullarni muvoffaqiyatli qoʻllanilish imkoniyatini yaratdi.
Birinchi tartibli differensial tenglamalar uchun Koshi masalasidan boshlaylik. Aytaylik
(1)
koʻrinishdagi differensial tenglamani
(2)
boshlangʻich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi yaʼni Koshi masalasi berilgan boʻlsin. Umumiy holda Koshi masalasining yechimini topish mumkin emas. funksiyaning maʼlum koʻrinishlaridagina (1) ni umumiy yechimini topish usullari mavjud. Amaliy masalalarda koʻp hollarda differensial tenglamalarni taqribiy yechish usullaridan foydalaniladi. Yechimni mavjudligi va yagonaligi haqidagi teorema shartlari bajarilgan deb faraz qilamiz. nuqta atrofida funksiya x boʻyicha uzluksiz, y boʻyicha esa Lifshits shartini qanoatlantirsin.
EYLER USULI
(1)-(2) Koshi masalasi yechimi y(x) ni nuqtaning atrofida Teylor qatoriga yoyamiz:

(3)
nuqtaning kichik atrofida Teylor qatorining birinchi ikkita hadina olib, qolgan hadlarini tashlab yuboramiz, natijada quyidagicha taqribiy formulaga kelamiz
(4)
Agar ni (1) formuladagi koʻrinishidan foydalansak, u holda (4) formulani quyidagicha koʻrinishda yozish mumkin:
(5)
(5) formulani oraliqqa umumlashtirish uchun, ushbu oraliqni n ta boʻlakka boʻlamiz. Boʻlaklash qadami:

Masala yechimini nuqtalarda jadval koʻrinishida topishni maqsad qilib qoʻyamiz. Taqribiy qiymatlarni (5) formula boʻyicha topamiz:
(6)
bunda Ushbu formulaga Eyler usuli deyiladi. Eyler usuli universal usul boʻlib, f(x,y) ning koʻrinishiga bogʻliq emas, lekin xatolik nisbatan katta. Har qadamdagi xatolik tartibida boʻlib, bu xatolik qadamba-qadam ortib borib, b nuqtaga yetib borguncha xatolik gacha ortishi mumkin. Koordinatalar tekisligida nuqtalarni toʻgʻri chiziq kesmalari bilan tutashtirishdan hosil boʻlgan siniq chiziq integral egri chiziqning taqribiy tasvirini hosil qiladi. Bunday siniq chiziqqa Eyler siniq chizigʻi deyiladi.
Izoh: bilan (1) tenglamaning dagi Eyler siniq chizigʻiga mos taqribiy yechimini belgilaymiz. Agar (10 tenglamaning boshlangʻich shartlarini qanoatlantiruvchi hamda [ kesmada aniqlangan birgina yechimi mavjud boʻlsa, u holda [ kesmadagi har qanday x uchun

boʻlishini isbotlash mumkin.


Misol 1. , boshlangʻich shartni qanoatlantiruvchi yechimning x=0.3 dagi taqribiy qiymati Eyler usulida topilsin. (qadam h=0.1)

Hisoblashlarni (6) formula boʻyicha amalga oshiramiz

Eyler usuli dasturlash uchun qulay. (6) formula asosida ixtiyoriy (1)-(2) Koshi masalasini, har qanday oldindan berilgan aniqlik bilan yechish mumkin. Aniqlikni oshirish uchun qadamlar soni n ni koʻpaytirish yetarli. Buning uchun quyidagicha munosabatlardan foydalanamiz:

(7)