11-Mavzu. Invariant qism fazolar. Xos son va xos vektorlar

3–misol. R – darajasi dan oshmagan ko‘phadlar to‘plami. А chiziqli operator – differensiallash, ya’ni
.
Darajasi dan kichik yoki ga teng ko‘phadlar to‘plami, bunda invariant qism fazoni tashkil qiladi. Haqiqatan, darajasi dan oshmagan ko‘phadni differensiallasak, yana darajasi dan oshmaydigan ko‘phad hosil qilamiz.
4–misol. R – ixtiyoriy n o‘lchovli fazo. А chiziqli operator biror bazisda ushbu

ko‘rinishdagi matritsa bilan berilgan. Bu holda vektorlardan vujudga kelgan R qism fazo invarinatdir. Bundan tashqari, agar

bo‘lsa, u holda vektorlardan vujudga kelgan qism fazo ham invariant bo‘ladi.
2.Xos vektorlar va xos qiymatlar. Bundan keyin bir o‘lchamli invariant qism fazolar alohida rol o‘ynaydi.
R₁ ifoda vektordan vujudga kelgan bir o‘lchamli qism fazo, ya’ni ko‘rinishdagi vektorlar to‘plami bo‘lsin. R ning invariant bo‘lishi uchun Ах vektorning R₁ da yotishi, ya’ni х vektorga karrali bo‘lishi, boshqacha aytganda:

bo‘lishi zarur va yetarli ekani ravshandir.
2-ta’rif. munosabatni qanoatlantiruvchi vektor А chiziqli operatorning xos vektori, mos  son esa, xos qiymati xarakteristik son deyiladi.
Shunday qilib, agar х – xos vektor bo‘lsa, u holda vektorlar bir o‘lchovli invariant qism fazoni tashkil qiladi.
Aksincha, bir o‘lchamli invariant qism fazoning noldan farqli hamma vektorlari xos vektorlardir.
1-teorema. R kompleks fazoda har qanday А chiziqli operator aqalli bitta xos vektorga ega.
Isbot. R da biror bazis tanlab olamiz. Bu bazisda А chiziqli operatorga biror matritsa to‘g‘ri keladi. Endi

vektor R ning ixtiyoriy vektori bo‘lsin. Bu holda Ах vektorning koordinatalari ushbu formulalar bilan ifodalanashini bilamiz:
,
,
..................................................,
.
Biror vektorning xos ekanligi sharti, ya’ni

tenglik quyidagicha ko‘rinishda yoziladi:

yoki
(1)
Shunday qilib, teoremani isbot qilish uchun, (1) sistemani qanoatlantiradigan  sonning va ba’zilarigina nolga teng bo‘lgan sonlarning mavjud ekanligini isbot qilish kerak. Bir jinsli (1) sistemaning noldan farqli yechimining mavjud bo‘lishi sharti uning determinantining nolga teng bo‘lishidadir:
(2)
Biz  ga nisbatan n – darajali tenglama hosil qildik. Bu tenglama aqalli bitta, umuman aytganda, kompleks ildizga ega.

1. 
   sistemada  o‘rniga ildizni qo‘ysak, biz determinanti nolga teng va noldan farqli yechimga ega bo‘lgan bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bu holda
   

vektor – xos vektor, ₀ esa, xos qiymat bo‘ladi, chunki
.
Teorema isbot bo‘ldi.
Eslatma. Agar А operatorni butun fazoda emas, balki uning har qanday invariant qism fazosida qaralsada, teoremaning isboti o‘z kuchini saqlagani uchun, har qanday invariant qism fazoda А operatorning aqalli bitta xos vektori mavjud.
Tenglamaning chap tomonidagi ko‘phad А operator matritsasining xarakteristik ko‘phadi, (2) tenglamaning o‘zi esa, bu matritsaning xarakteristik yoki asriy tenglamasi deyiladi. Teoremani isbotlash jarayonida biz xarakteristik ko‘phadning ildizlari А operatorning xos qiymatlari ekanini va aksincha, А operatorning xos qiymatlari xarakteristik tenglamaning ildizlari ekanini ko‘rsatdik.
Operatorning xos qiymatlari bazisning tanlab olinishiga bog‘liq bo‘lmagan holda aniqlandi, shuning uchun xarakteristik ko‘phadning ildizlari ham bazisning tanlab olinishiga bog‘liq emas. Keyinroq biz chunonchi, xarakteristik ko‘phadning o‘zi bazisning tanlab olinishiga bog‘liq emas va shuning uchun biz bundan so‘ng uni А operatorning xarakteristik ko‘phadi deb ataymiz.

2. 
   chiziqli operatorlar orasida ma’lum ma’noda eng soddalari n ta chiziqli erkli xos vektorlarga ega bo‘lgan chiziqli operatorlardir. А – shunday operator bo‘lsin, lar esa, uning chiziqli erkli xos vektorlari, ya’ni
   

deb faraz qilaylik.
larni R dagi bazis uchun qabul qilamiz. Ushbu


.................

tengliklar А operatorning bu bazisdagi matritsasi

ko‘rinishga ega (diagonal matritsadan) ekanini bildiradi. Shunday qilib, biz ushbu teoremani isbot qildik.