12-mavzu. Aniq integral, xossalari. N’yuton-leybnits formulasi

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
< œ
Cfc =
/*(g) fc!
,/(t)=/(n)(t)
(n- 1)! = Г(п)
dan, biz (1) ning o'ng tomoniga n ning butun bolmagan qiymatlari uchun ham ma'no berilishi mumkinligini koramiz.
Kasr tartibli hosilasini aniqlashda ikkita asosiy yondashuv mavjud. Ulardan birinchisi, kasr tartibli integralidagi kabi Koshi formulasini (1) umumlashtirishga asoslanadi.
Bu yondashuv J. Liuvil, B. Riman, X. Xolmgren, G. Weil, A. Marsho, J. Hadamard, M. Riess, N.Ya. Sonin va A.V. Letnikov, xuddi shu yondashuv A. Erdelyi va X. Kober, J. Kossard, S.G. Samko, S.P. Geysberg va boshqalarning modifikatsiyalari asosida yotadi [1].
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 5 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
Ikkinchi yondashuv A. Grunvald va A.V. Letnikovning ishlarida ishlab chiqilgan va hosila ta'rifini funksiyaning cheksiz kichik o'sishlar nisbati chegarasi va uning argumenti sifatida umumlashtirishga asoslangan. Ushbu yondashuv goyasini J. Liuvil bildirgan.
E. Post chegara orqali kasr tartibli hosilasini aniqlashda Grunvald-Letnikov yondashuvini umumlashtirishni taklif qilgan.
Kasr tartibli integralining ta'rifi eng keng tarqalgan va kopchilik ilovalarda qo llaniladigan- Riman-Liuvil ta'rifidir. Kasr tartibli hosilalar holi Riman-Liuvil, Kaputo va Grunvald-Letnikovlarning ta'riflari xuddi shunday pozitsiyani egallaydi. Quyida biz chap qol (chap tomon) operatorlari uchun ushbu ta'riflarning qat'iy formulalarini beramiz.
Ta'rif 1. f(x)eL1(a,b),a,beR1 funksiyaning ixtiyoriy butun bo lmagan a > 0 tartibli Riman-Liuvil
f(t)dt
1 r
(x-t)
1-a
kasr integrali ifoda bilan aniqlanadi
Ta'rif 2. f(x)eL1(a,b),a,beR1 funksiyaning ixtiyoriy butun bo lmagan a > 0 sonli tartibli kasr Riman-Liouvil hosilasi
1 d[a]+1 rx f(t)dt
RL
a +'
D«f(x) =
r(1 - {a}) dx[a]+1 Ja (x - t){a}
L
Ja
ifoda bilan aniqlanadi.
Bu yerda [a] va (a) mos ravishda a ning butun va kasr qismlari.
Kasr operatorlarining umumiy xossalari
Kasrli tartibli integral va differentsiallash chiziqli amallardir. Argumentlarni inversiya qilish operatsiyasi mos keladigan turdagi chap qol (chap tomon) hosilasini o'ngga ozgartiradi. Kasr tartibli Riman-Liuvil integrallari va kasr tartibli Grunvald-Letnikov hosilalari uchun quyidagi yarim guruh xossasi to'gri boladi:
ia ,ß _ ,a+ß
vir nrlv /t'T
a1x a1x
a*x
GLD%GLDßx = GLD"+ß. a x a x a x
DI ning fundamental nazariy savollaridan biri kasr tartibli integrali va kasr tartibli hosilasi operatorlarining ozaro muvofiqligi (qaytarilish ma'nosida) masalasidir.
Bu yerda ikkita asosiy nuqtai nazar mavjud.
Ulardan biri eng ko'p keng tarqalgani, Riman-Liuvil bo'yicha ozaro teskari amallar kasr tartibli integral va kasr tartibli hosila (bir xil tartibdagi) deb taxmin qilishdir. Bunday holda, hosilani integrallash natijasi segment oxiridagi funktsiya qiymatlari farqi bilan emas (Nyuton-Leybnits formulasiga o'xshash), balki kasrni oz ichiga olgan murakkabroq formula bilan ifodalanadi. Mustaqil o'zgaruvchining quvvat funksiyasi, unda koeffitsient sifatida boshlang'ich nuqtasida kasr hosilalarining qiymatlarini oz ichiga oladi:
yRL,
a =
[a]+1
f(x) - I
(x-a)a-i ( d[a]+1-i
j=i
Y(a - j + 1)\dx[a]+1-j
— i
-{a}f(x)
(2)
x=a
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 5 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
Ba'zan (2) formula Nyuton-Leybnits formulasini kasr tartibli umumlashtirishi deb
ataladi.
Boshqa bir nuqtai-nazar kasr tartibli integrali va kasr tartibli hosilalar o zaro teskari operatsiyalar sifatida Nyuton-Leybnits tipidagi formula bilan bog'lanishi kerak degan tushunchaga asoslanadi:
a/£ Dxa/(x) =/(x)-/(a). (3)
a
(3) tenglik
n« =
= „^x
a a
uchun amal qilishi ko'rsatilgan, ya'ni, ozaro teskari amallar Riman -Liuvil kasr tartibli integrali va Kaputo kasr (3) differensiali hisoblanadi.
Kasr tartibli intagralni quyidagicha aniqlash mumkin. Ta'rif 3. ^(x)eLx(a,ö),
1 r fl (4)
1 Cb integrallar bo'lsin.
fl > 0 bo'lsa, mos ravishda chap (4) va o'ng (5) Riman-Liuvil a (kasr) tartibli integrallari deyiladi.
Endi kasr tartibli integrallarning yarimguruh xususiyatiga ega
1 a+' = 'a+ V
(6) formulani isbotlaymiz. Bizda
TV^ I (x - t)l-a
/a = Pik 'a+'a+^ = r(fl) J
_ 1 f* dt fx ^(r)dr
= r(a)r(0) Ja (x-t)1-«Ja (t-r)1-^.
Dirixle formulasi bo'yicha integrallash tartibini ozgartiramiz va shundan so'ng ichki integralda t = r + s(x — r) o'zgarishi qilamiz:
/a /ß (n =
' a+' a+r =
dt
1 r r
± = r(^)Ja ^(T)dTJT (x — t)i-«(t — t)W
r( a)r(^)Ja (x —r)1-^J0S (1 + S ) dS ß(a,0) f* ^(r)dr
i
r( a)r(^)Ja (x —r)1-«-^
1 f ^(r)dr
(X —T)1"
r( a + ß)Ja (x —r)1-(a+^)
C+V
Integrallash tartibini qayta tashkil etish bu yerda Fubini teoremasi yordamida amalga oshiriladi.
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 5 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
Riman-Liuvil kasr tartibli integralining chegaralanganligi haqidagi lemmani isbotlaymiz. Lemma. Kasr tartibli integral operatori I%+, a£l,a>0 da L(a, b) da chegaralangan:
(b- a)a \\Ia+g\\L(a,b) < a\G(a)\
Isbot. Dirixlet formulasini qollash orqali quyidagiga ega bo'lamiz:
-b
\\I%+g\\L(a,b) = I \I%+g(x)\dx = Ja
C 9(t)
= \G(a)\iaaX Ja 1 fb f -]GW\Ldxia (x - t)1-a
,a (x - t)1-« \g(t)\
dt =
rb rb
= \ïw\U9(mtl(x-tr-ldx =
1 rb
= -¡7^ii \g(t)\(b-t)adt = a\G(a)\ Ja