12-Mavzu: Intervalli baholar. Ishonchlilik ehtimolligi va ishonchlilik oralig’i

Normal taqsimot matematik kutilmasi uchun ishonchlilik oralig‘i. Styudent taqsimoti

Oldingi paragraflarda biz taqsimoti funksiyasi ixtiyoriy bo‘lgan t.m. matematik kutilmasi uchun taqribiy ishonchlilik oralig‘i tuzdik. Agarda tanlanma o‘rta qiymatining taqsimoti ma’lum bo‘lsa, aniq ishonchlilik oralig‘ini tuzish mumkin.

Faraz qilaylik, X₁, …, X_n lar matematik kutilmasi θ va dispersiyasi σ² bo‘lgan normal qonun bo‘yicha taqsimlangan X t.m.ning tajribalar natijasida olingan hajmi n – ga teng bo‘lgan tanlanmasi bo‘lsin.
Quyidagi statistikani kiritamiz:

(3)
Bu yerda,
, .

Teorema. Agarda X₁, X₂, …, X_n – bog‘liqsiz va (θ, σ ²) parametrli normal qonun bo‘yicha taqsimlan statistik tanlanma bo‘lsa, u holda t – statistika erkinlik darajasi n-1 ga teng bo‘lgan Styudent taqsimotiga ega bo‘ladi.
Styudent taqsimotining zichlik funksiyasi quydagi ko‘rinishda bo‘ladi:

- gamma funksiya yuqoridagi formuladan ko‘rinib turibdiki, Styudent taqsimoti va statistikalarga bog‘liq bo‘lmay, faqat kuzatilmalar hajmi n ga bog‘liqdir.
Endi Styudent taqsimotining ishonchlilik oralig‘i qurishga tadbiqini ko‘raylik.
Normal qonun bo‘yich taqsimlangan X t.m.ning tajribalar natijasida qiymatlari topilgan bo‘lsin. Bular asosida va statistikalarni hisoblaymiz. T.m. noma’lum matematik kutilmasi θ – uchun ishonchlilik ehtimoli β (0<β<1) bo‘lgan ℮_β ishonchlilik oralig‘ini qurish masalasini qaraylik.
Quyidagi ehtimolni ko’raylik:
.
Bu tenglikning chap tomonida t.m.dan t – statistikaga o‘tamiz. Buning uchun tengsizlikning ikkala tomonini ga ko‘paytiramiz.U holda,

tenglik hosil bo‘ladi. (3) formuladan foydalansak,

munosabatga kelamiz.
Styudent taqsimoti zichlik funksiyasining juftligidan foydalanib quyidagini hosil qilamiz:

(4)

Endi (4) tenglikdan t_β ni topishiniz mumkin. Styudent taqsimoti qiymatlari jadvaldan foydalanib, ishonchlilik ehtimoli β va erkinlik darajasi n-1 ga mos t_β ni aniqlaymiz:

Bu esa ℮_β ishonchlilik oralig‘i uzunligining yarmiga teng
Demak,
℮_β= .

Misol. (θ, σ ²) parametrli normal qonun bo‘yicha taqsimlangan X t.m.ning 10 ta bog‘liqsiz tajribalar natijasida quyidagi qiymatlari topildi:

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Xi	2.5	2	-2.3	1.9	-2.1	2.4	2.3	-2.5	1.5	-1.7

matematik kutilma θ uchun ishonchlilik ehtimoli β = 0.95 bo‘lgan ℮_β – ishonchlilik oralig‘ini toping.

Tanlanmaning o‘rta qiymati va dispersiyasini topamiz:

, .

Jadvaldan erkinlik darajasi n-1=9 va ehtimollik β = 0.95 bo‘yicha Styudent taqsimotining (1-t_β) – kvantilini topamiz t_β=2.26. Demak,

va izlanayotgan ishonchlilik oralig‘i ℮_β= = (-1.18; 1.98) ko‘rinishda bo‘lar ekan.