Mavzu: Sistemaning erkinlik darajasi soni bog'lanishlarining reaksiyalari Reja: Sistemaning erkinlik darajasi

Mavzu: Sistemaning erkinlik darajasi soni bog'lanishlarining reaksiyalari

Reja:

1. 
   Sistemaning erkinlik darajasi
   
2. 
   Erkinlik darajasi soni bog'lanishi
   
3. 
   Erkinlik darajasi soni bog'lanishlarining reaksiyalari
   

Sistemaning erkinlik darajasi soni S -ga teng bo'lsin. Bunday sistemaning erkin tebranishlari nazariyasi bir o'lchami tebranishlar nazariyasiga o'xshash bo'ladi.

Agar sistema potensial energiyasi q_i = q_i0 (i = 1,2,...,S) nuqtasida minimumga ega bo'lsa, x_i = q_i - q_i0 kichik siljish kiritib, oldin ko'rganimizdek, potensial energiyani katorga yoyish asosida yozishimiz mumkin:

^U = 2 Y ^kxx

Bu yerda koeffisiyent k indekslar bo'yicha simmetrik bo'ladi:

^kik ^{= k}ki

Shu asosda kinetik energiyani ham

^T = 2 Y ^mik^xi^x k

Ko'rinishda yozib, Lagranj funksiyasini

^L = 2Y^(m₁k^xi^xk ^-kxx) ⁽¹⁾

deb yoza olamiz.

Harakat tenglamasi va uning yechimi

Lagranj funksiyaning to'liq differensialini yozamiz:

^dL = 2 Y^dm,^{xdx + m}k^xk^{dx - k}rk^xr^dxk ^{- k}ik^xk^dxr )

i k almashtirish o'tkazsak

^dL = Y^(m_lk^xk^dx_t ^-k^k^xk^dx_t⁾

Bundan

dL v • dL

— = Y ^mik^xk , ту = -Y ^kik^xk ^dxi ^dxi

(2)

Lagranj tenglamasi esa

Y ^mk ^xk ⁺ Y ^kik^xk = ⁰

kabi yoziladi. Bu S -ta chiziqli bir jinsli differensial tenglamalar sistemasini olamiz. Ularning umumiy yechimi

Xk = 0

tariqasida axtaramiz. U holda (2) o'rnida

E^{( a} m ^{+ k} )Ak =^{0 (3)}

chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini olamiz. Bu sistemaning noldan farqli yechimi

\^kik ²m-k|

determinantning nolga tengligi bilan aniqlanadi:

^k- ^(2>:mik\ =^{0 (4)}

Bu determinantni ochib chiqsak, 0²-ga nisbatan S -chi darajadagi tenglamani olamiz. U esa aa(a = 1,2,...,S) haqiqiy ildizlarga ega bo'ladi. Shu yul bilan aniqlangan a_a kattaliklar sistemasining xususiy chastotalari deyiladi. Topilgan ildizlarni (3) tenglamaga qo'yib, har bir a_a -ga mos keluvchi A_a koeffisiyentlarni topamiz. Agar barcha ildizlar bir-biridan farq qiluvchi bo'lsa, A_a ildizlar (4) aniqlovchining minorlariga proporsional bo'ladi va bu minorda a,a_a ildizlarga almashtirilgan bo'ladi.

U holda yechim

_x = Д C _e ^iaa

bu yerda C_a -ixtiyoriy koeffisiyent, Д _ka - (5) ning minori. Umumiy yechim

Xk = Re|f Д kaCae^,aa- E Д " (5)

t,a=1a

bu yerda

2 = ReCae"^at}

Shunday qilib, sistema koordinatalari har birining vaqt bo'yicha o'zgarishi ixtiyoriy amplitudali va fazali, aniq chastotaga ega bo'lgan S -ta oddiy davriy tebranishlar 8₁ , 8₂ ,..., 8_S lar to'plamidan iborat bo'ladi.

Normal koordinatalar

Umumlashgan koordinatalarni shunday qilib tanlab olish mumkinki, ularning har biri oddiy bita tebranishni ifodalasin. Haqiqatan, (5) tenglamalar sistemasini yechib, 8₁ , 8₂ ,..., 8_S kattaliklarni X₁,X₂,..., X_S koordinatalar orqali ifodalash mumkin. Demak, 8_a kattaliklarga Yangi umumlashgan koordinatalar deb qarash mumkin. Bu koordinatalar odatda normal koordinatalar deyiladi va ular oddiy tebranishlarni ifodalaydi va qo'yidagi tenglamalarni qanoatlantiradi: 8a+alda= 0

Lagranj funksiyasi esa bu koordinatalarda qo'yidagicha yoziladi:

l = E ^m₂^afe-a282)

Agar 8, =4mad_a almashtirish o'tkazsak,

L = 2 a²