12-Mavzu: Turg’unlik nazariyasi asoslari

12-Mavzu: Turg’unlik nazariyasi asoslari.

Reja

1. 
   Turg’unlik tushunchasi.
   
2. 
   Lyapinov ma`nosida turg’unlik. Asimptotik turg’unlik haqidagi teoremalar.
   

1. Turg‘unlik tushunchasi.

Ko‘plab jarayonlarning kechishi oddiy differensial tenglamalar bilan tavsiflanadi. Bu tenglamalar cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘lsa-da, tegishli jarayon bitta yechim bilan aniqlanadi va u ma’lum bir boshlang‘ich ma'lumotlarga mos keladi. Boshlang‘ich qiymatlar sal o‘zgarganda hosil bo‘luvchi yechim vaqt o‘tishi bilan dastlabki yechimga yaqinligicha qoladimi (turg‘un yechim) yoki undan uzoqlashib ketadimi (noturg‘un yechim)? degan savolning javobini bilish juda katta amaliy ahamiyatga ega. Chunki odatda boshlang‘ich qiymatlar xatolikka ega bo‘luvchi o‘lchashlar, taqribiy hisoblashlar orqali aniqlanadi va bu qiymatlarning sal o‘zgarishining yechimga ta’sirini bilish nihoyatda muhimdir. Agar yechim vaqt (t) o‘tishi bilan dastlabkisidan uzoqlashib ketsa, o‘rganilayotgan jarayonning tabiatini katta t larda oldindan aytib boimaydi.
Turg'uniikning turli ta’riflarini Puasson, Lagranj, Lyapunov va boshqalar kiritishgan. Biz Lyapunov ma’nosidagi turg‘unlik bilan tanishamiz.

^𝒅𝒚 = 𝒀 ⁽𝒕, 𝒚

, … 𝒚


⁾, (𝒊 = 𝟏, 𝒏) (1)

𝒅𝒕
𝒊 𝟏 𝒏

oddiy differensial tenglamalar sistemasi berilgan va ^{𝜕𝑌𝑖 (}𝑖 = ^̅1^̅̅,^̅𝑛^̅) mavjud hamda
𝜕𝑥_𝑘

𝑖
uzluksiz bo’lsin; 𝜑_𝑖⁽𝑡⁾⁽𝑖 = 1^̅̅̅,^̅𝑛^̅) sistemaning 𝑡 = 𝑡₀ bo’lganda 𝜑_𝑖⁽𝑡_𝑖⁾ = 𝜑^{0 (}𝑖 = 1^̅̅̅,^̅𝑛^̅) shartni qanoatlantiruvchi yechimi bo’lsin. Agar ∀𝜀 > 0 uchun, shunday topilib

𝛿⁽𝜀⁾ > 0
|𝑦_𝑖⁽𝑡₀⁾ − 𝜑⁰| < 𝛿 (𝑖 = 1, 𝑛)

𝑖
tengsizlikni qanoatlantiradigan ixtiyoriy 𝜑_𝑖⁽𝑡^{) (}𝑖 = ^̅1^̅̅,^̅𝑛^̅) dan farqli (1) sistemaning
𝑦_𝑖⁽𝑡⁾ yechimi uchun 𝑡 ≥ 𝑡₀ bo’lganda
^|𝑦_𝑖⁽𝑡⁾ − 𝜑_𝑖⁽𝑡^)| < 𝜀 (𝑖 = 1, 𝑛) (2) tengsizliklar bajarilsa (1) sistemaning 𝜑_𝑖⁽𝑡⁾⁽𝑖 = 1^̅̅̅,^̅𝑛^̅) yechimi Lyapunov bo’yicha turg’un deyiladi.

𝑖
Ya’ni boshlang’ich qiymatlari 𝜑^{0 (}𝑖 = ^̅1^̅̅,^̅𝑛^̅) dan juda oz farq qiladigan har qanday yechim ∀𝑡 ≥ 𝑡₀ lar uchun 𝜑_𝑖⁽𝑡^{) (}𝑖 = 1^̅̅̅,^̅𝑛^̅) yechimdan juda oz farq qilsa bu yechim turg’un yechim deb ataladi.
Agar har qanday kichik 𝛿 > 0 uchun hech bo’lmaganda birta 𝑦_𝑖⁽𝑡⁾ yechim (2) tengizlikni qanoatlantirmasa 𝜑_𝑖⁽𝑡⁾⁽𝑖 = 1^̅̅̅,^̅𝑛^̅) yechim turg’unmas deb ataladi.
Agar 𝜑_𝑖⁽𝑡⁾⁽𝑖 = 1^̅̅̅,^̅𝑛^̅) yechim turg’un yechim bo’lishi bilan birgalikda,

lim ^|𝑦_𝑖⁽𝑡⁾ − 𝜑_𝑖⁽𝑡^)| = 0, (𝑖 = 1, 𝑛)

𝑡→∞
shartlarni qanoatlantirsa, bu yechim asimptotik turg’un deb ataladi.

Shuni qayd qilish kerakki, birgina (3) shartlarning bajarilishidan 𝜑_𝑖⁽𝑡⁾⁽𝑖 = 1^̅̅̅,^̅𝑛^̅) yechimning turg’unligi kelib chiqmaydi.
1-misol. ^𝑑𝑦 = 0
𝑑𝑥
tenglamaning barcha yechimlari turg’un yechimlardan iborat.

1
Haqiqatan ham 𝑦₁⁽𝑡⁾ , 𝑦₁⁽𝑡₀⁾ = 𝑦⁰ boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi

1
yechim bo’lsin , bu yerda 𝑦⁰ = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

2
Tenglamaning 𝑦₂⁽𝑡₀⁾ = 𝑦⁰ boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi boshqa yechimini olamiz. Bu yechimlar uchun quyidagi.
^|𝑦₂⁽𝑡⁾ − 𝑦₁⁽𝑡^)| = ^|𝑦⁰ − 𝑦^0|
2 1
tenglik barcha t-lar uchun o’rinli. Demak, ixtiyoriy 𝜀 > 0 uchun shunday 𝛿 > 0
topiladiki, (masalan 𝜀 = 𝛿) ^|𝑦⁰ − 𝑦^0| < 𝛿 bo’lganda, 𝑦₂⁽𝑡⁾ va 𝑦₁⁽𝑡⁾ yechimlar uchun

quyidagi
2 1
^|𝑦₂⁽𝑡⁾ − 𝑦₁⁽𝑡^)| < 𝜀

tengsizlik barcha 𝑡 ≥ 𝑡₀ lar uchun, o’rinli bo’ladi. Demak, tenglamaning ixtiyoriy yechimi turg’un yechim ekan, lekin bu yechimlar asimptotik turg’un yechim bo’la olmaydi, chunki:
lim ^|𝑦₂⁽𝑡⁾ − 𝑦₁⁽𝑡^)| = ^|𝑦⁰ − 𝑦^0| ≠ 0.

2. misol.

𝑡→∞
𝑑𝑦_{1 = 𝑦}

2

, ^𝑑𝑦2 = −2𝑦

1
− 2𝑦

𝑑𝑥 ²
sistemaning umumiy yechimi
_𝑑𝑥 1 2

𝑦₁ = 𝑒^−𝑡[𝑦⁰ cos 𝑡 + ⁽𝑦⁰ + 𝑦⁰⁾ sin 𝑡^]
1 1 2
𝑦₂ = 𝑒^−𝑡[𝑦⁰ cos 𝑡 − ⁽2𝑦⁰ + 𝑦⁰⁾ sin 𝑡^]
1 1 2
ko’rinishga ega, bu yerda 𝑦⁰ va 𝑦⁰ mos ravishda 𝑦₁ va 𝑦₂ funksiyalarning 𝑡 = 0
1 2
bo’lgandagi qiymatlari.
Sistemaning 𝑡 = 0 da: 𝑦₁ = 0, 𝑦₂ = 0 shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy.
𝑦₁ = 𝑒^−𝑡 sin 𝑡
𝑦₂ = 𝑒^−𝑡 (cos t − sin 𝑡 )
yechimini olamiz. Sistemaning 𝑡 = 0 bo’lganda:

𝑦⁰ = 𝑦⁰ + 𝛿 = 𝛿
1 ¹

𝑦⁰ = 𝑦⁰ + 𝛿 = 1 + 𝛿

2 ²
shartlarni qanoatlantiruvchi boshqa xususiy

𝑦₁
= 𝑒^−𝑡[𝛿 cos 𝑡 + ⁽1 + 2𝛿⁾ sin 𝑡^]

2
𝑦 = 𝑒^−𝑡[(1 + 𝛿⁾ cos 𝑡 − ⁽1 + 3𝛿⁾ sin 𝑡^]
yechimini qaraylik.U xolda:
−𝑡
𝑦₁ − 𝑦₁ = 𝑒 ^[𝛿 cos 𝑡 + 2𝛿 sin 𝑡^]

2
𝑦 − 𝑦₂ = 𝑒^−𝑡[𝛿 cos 𝑡 − 3𝛿 sin 𝑡^]
tengliklardan funksiyalarning boshlang’ich qiymatlari o’zgarishi yetarlicha kichik bo’lganda ^|𝑦₁ − 𝑦₁^| va ^|𝑦₂ − 𝑦₂^|, barcha 𝑡 ≥ 0 lar uchun yetarlicha kichik bo’lishi kelib chiqadi, bundan tashqari ∀𝛿 > 0 uchun

lim
𝑡→+∞
⁽𝑦_𝑖 − 𝑦_𝑖⁾ = 0 ⁽𝑖 = 1,2⁾

ya'ni 𝑦₁ va 𝑦₂ yechimlar 𝑦₁ va 𝑦₂yechimlarga 𝑡 → ∞ da asimptotik yaqinlashadi, demak berilgan sistemaning yechimlari asimptotik turg’un yechimlar bo’ladi.
𝑥_𝑖⁽𝑡⁾ = 𝑦_𝑖⁽𝑡⁾ − 𝜑_𝑖⁽𝑡⁾ (𝑖 = 1, 𝑛) (4)

almashtirish yordamida (1) sistemaning 𝜑_𝑖⁽𝑡⁾ yechimini tekshirish masalasini

^𝑑𝑥𝑖 = 𝑋 ⁽𝑥
, 𝑥
… , 𝑥
⁾, 𝑋 ⁽0⁾ = 0 (5)

𝑑𝑡
𝑖 1 2
𝑛 𝑖

sistemaning travial (aynan nolga teng) yechimini tekshirish masalasiga olib kelinadi, ya’ni (5) sistemaning koordinata boshida joylashgan muvozanat nuqtasining turg’unligi tekshiriladi.

Lyapunov funksiyasi

𝑉⁽𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛⁾, 𝑉⁽0, … ,0⁾ = 0 funksiya koordinata boshining
𝑛

𝑖
ℎ (∑ 𝑥² ≤ ℎ)
𝑖=1
atrofida musbat aniqlangan deyiladi, agar u koordinata boshida nolga teng bo’lib, h -
atrofning qolgan barcha nuqtalarida musbat qiymat qabul qilsa, ya’ni 𝑉 > 0 , bo’lganda.

Agar h – atrofida 𝑉 < 0 bo’lsa, u xolda V – manfiy aniqlangan funksiya deyiladi. Agar koordinata boshining h – atrofida 𝑉 ≥ 0 bo’lsa, V musobat ishorali; 𝑉 ≤ 0 bo’lsa, V manfiy ishorali funksiya deyiladi. Agar V funksiya h - atrofida ham musbat, ham manfiy qiymatlar qabul qilsa, bunday funksiya ishora almashtiruvchi funksiya deyiladi.
Masalan, 𝑉 = 𝑥² + 𝑥² + 𝑥² uch o’lchovli 𝑅³ fazoda musbat aniqlangan
1 2 3
funksiya; 𝑉 = 𝑥² + 𝑥² − 𝑥² 𝑅³ da ishora almashtiruvchi funksiya; 𝑉 = 𝑥² + 𝑥² 𝑅³
1 2 3 1 2
da 0𝑥₃ o’qida nolga teng bo’lganligi sababli musbat ishorali, 𝑅² tekislikda esa bu funksiya musbat aniqlangan funksiya bo’ladi.
Musbat va manfiy aniqlansa funksiyalar aniq ishorali funksiya deyiladi. Musbat va manfiy funksiyalar doimiy ishorali funksiya deyiladi.

Lyapunovning turg’unlik haqidagi teoremasi.

Agar berilgan

^𝑑𝑥𝑖 = 𝑋 ⁽𝑡, 𝑥
, … , 𝑥
⁾, 𝑋 ⁽0⁾ = 0 (1)

𝑑𝑡
𝑖 1
𝑛 𝑖

tenglamalar sistemasi uchun, koordinata boshining h - atrofida musbat aniqlangan
𝑉⁽𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛⁾ funksiya mavjud bo’lib, bu funksiyani (1) sistemaga ko’ra hisoblangan
𝑛
𝑑𝑉 𝜕𝑉

𝑑𝑡 ^{= ∑} 𝜕𝑥
𝑋_𝑘⁽𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛⁾ (2)

𝑘=1 ^𝑘
hosilasi manfiy ishorali funksiya bo’lsa (1) sistemaning travial yechimi turg’un bo’ladi.
1-misol ^𝑑𝑥1 = −𝑥 𝑥⁴ , ^𝑑𝑥2 = 𝑥⁴𝑥

𝑑𝑡
1 2 _𝑑𝑡 1 2

sistemaning travial yechimi turg’unligini aniqlang.
𝑉⁽𝑥₁, 𝑥₂⁾ = 𝑥⁴+𝑥⁴ musbat aniqlangan funksiyani olamiz. Bu holda:

1
𝑑𝑉 𝜕𝑉
=

2
𝑑𝑥_{1 +} 𝜕𝑉
^𝑑𝑥2 = 4𝑥³⁽−𝑥

𝑥⁴⁾ + 4𝑥³⁽𝑥⁴𝑥

⁾ = 0

𝑑𝑡
𝜕𝑥₁
𝑑𝑡
𝜕𝑥₂
𝑑𝑡
1 1 2
2 1 2

istalgancha kichik 𝑥₁
, 𝑥₂
lar uchun va ^𝑑𝑉 = 0 , demak, Lyapunov teoremasidan
𝑑𝑡

yechimning turg’unligi kelib chiqadi.
2-misol ^𝑑2^𝑥 + 𝑎 ^𝑑𝑥 + 𝑓⁽𝑥⁾ = 0, 𝑓⁽0⁾ = 0

𝑑𝑡²
𝑑𝑡

tenglamaning trivial yechimi turg’unligining tekshiramiz, bu yerda 𝑎 ≥ 0; 𝑓⁽𝑥⁾
uzluksiz funksiya va 𝑥 = 0 nuqta atrofida 𝑥 bilan bir xil ishoraga ega, ya’ni 𝑥𝑓(𝑥) >
0 tenglamani

𝑑𝑥_{1 = 𝑥}

, ^𝑑𝑥2 = −𝑎𝑥

− 𝑓(𝑥 )

𝑑𝑡
2 _𝑑𝑡 2 1

sistema bilan almashtiramiz va bu sistema uchun Lyapunov funksiyasini quyidagi



₎ 1 ₂ 𝑥₁
^{ko’rinishda olamiz: 𝑉(𝑥 , 𝑥 = 𝑥 +} ∫ ^{𝑓(𝑠) 𝑑𝑠 bu funksiyani sistemaga ko’ra}

1 2 ₂ 2 ₀
hisoblangan hosilasi

𝑑𝑉 𝜕𝑉
=

𝑑𝑥_{1 +} 𝜕𝑉
^𝑑𝑥2 = 𝑓⁽𝑥


⁾𝑥

+ 𝑥

(−𝑎𝑥

− 𝑓⁽𝑥


⁾) =

𝑑𝑡
𝜕𝑥₁
𝑑𝑡
𝜕𝑥₂
𝑑𝑡
1 2 2 2 1

2
−𝑎𝑥² ≤ 0.
Demak, tenglamaning trivial yechimi turg’un yechim bo’ladi

2. 
   misol: Quyidagi
   

^𝑑𝑥1 = −⁽𝑥
− 2𝑥
⁾⁽1 − 𝑥² − 3𝑥²⁾

𝑑𝑡
1 2 1 2

^𝑑𝑥2 = −⁽𝑥

+ 𝑥

⁾(1 − 𝑥² − 3𝑥²)

𝑑𝑡
1 2 1 2

sistemaning 𝑥₁ = 𝑥₂ = 0 munozanat nuqtasining turg’unligini tekshiramiz.
Lyapunov funksiyasi sifatida 𝑉 = 𝑥² + 2𝑥² musbat aniqlangan funksiyani
1 2
olamiz, u holda bu funksiyani sistemaga ko’ra hisoblangan hosilasi
^𝑑𝑉 = −2⁽1 − 𝑥² − 3𝑥²⁾(𝑥² + 2𝑥²)

𝑑𝑡
1 2 1 2

yetarlicha kichik 𝑥₁
, 𝑥₂
lar uchun ^𝑑𝑉 ≤ 0 bo’lganiligi sababli sistemaning
𝑑𝑡

𝑥₁ = 0, 𝑥₂ = 0 yechimi turg’un bo’ladi.