13- mavzu karrali integrallar

2.1.3. Uch karrali integral

Uch karrali integral ham ikki karrali integral kabi aniqlanadi. Fazoda hajmi ga teng bo’lgan jism berilgan bo’lsin. Bu jismning (sohaning) har bir nuqtasida uzluksiz yoki funksiya aniqlangan bo’lsin.

Sohani ixtiyoriy ravishda umumiy ichki nuqtaga ega bo’lmagan va hajmlari
bo’lgan ta bo’lakka bo’lamiz, bunda . Har bir bo’lakda ixtiyoriy nuqta tanlab, bu nuqtada ni hisoblaymiz va
ko’paytmani tuzamiz. Bu ko’paytmalardan
(2.18)
yig’indisini hosil qilamiz. Bu yig’indiga funksiya uchun sohada
integral yig’indi deyiladi. da bo’laklar diametrlarining eng kattasi nolga
intiladi, ya’ni .
4-ta’rif. Agar (2.18) integral yig’indining gi chekli limiti sohani bo’laklarga bo’lish usuliga va bu bo’laklarda nuqtani tanlash usuliga bog’liq bo’lmagan holda mavjud bo’lsa, u holda bu limitga funksiyadan soha bo’yicha olingan uch karrali integral deyiladi va kabi belgilanadi.
Demak,
. (2.19)
Uch karrali integral uchun ham ikki karrali integraldagidek mavjudlik teoremasi o’rinli bo’ladi.
Uch karrali integralni ikki karrali integralga o’xshash quyidagicha belgilash
mumkin:
.
Agar sohada bo’lsa, u holda uch karrali integral bu sohaning
hajmiga teng bo’ladi, ya’ni
. (2.20)
Bu ifoda uch karrali integralning geometrik ma’nosini anglatadi.
Agar funksiya sohada massa taqsimotining zichligi bo’lsa, u holda uch o’lchovli integral hajmdagi modda massasini beradi:
(2.21)
Bu ifoda uch karrali integralning mexanik ma’nosini bildiradi.
Uch karrali integral ikki karrali integral ega bo’lgan xossalarga ega. Shu sababli ikki karrali integral keltirilgan xossalar uch karrali integral uchun to’laligicha ko’chiriladi.





bunda soha o’zaro kesishmaydigan sohalardan tashkil topgan.
Agar sohada bo’lsa, u holda
.
Agar sohada bo’lsa, u holda
.
bu yerda nuqta sohada yotadi.
Agar sohada bo’lsa, u holda
.