13- mavzu karrali integrallar

2-ta’rif. Quyidan soha bilan, yuqoridan tenglamasi bo’lgan sirt bo’lagi bilan, yon tomondan o’qqa parallel yasovchilardan tashkil topgan silindrik sirt bilan chegaralangan jism silindrik jism deyiladi (2-shakl).
Agar sohada bo’lsa, u holda (2.1) integral yig’indidagi har bir qo’shiluvchi asosi ga va balandligi ga teng bo’lgan silindrik jism hajmiga teng bo’ladi, ya’ni . Bunda integral yig’indi hajmlar yig’indisini, boshqacha aytganda zinasimon silindrik jismlar hajmlari yig’indisini aniqlaydi. U holda funksiyadan soha bo’yicha olingan ikki karrali integral quyidan soha bilan, yuqoridan tenglamasi
bo’lgan sirt bo’lagi bilan chegaralangan silindrik jismning hajmiga teng bo’ladi,
ya’ni
. (2.3)
Bu ifoda ikki karrali integralning geometrik ma’nosini bildiradi.
Agar sohada bo’lsa, u holda ikki karrali integral soha yuzasiga
teng bo’ladi, ya’ni
. (2.4)
Agar integral ostidagi funksiya yassi plastinkada massa taqsimotining zichligi bo’lsa, u holda ikki karrali integral yassi plastinkaning massasiga teng
bo’ladi, ya’ni
. (2.5)
Bu ifoda ikki karrali integralning mexanik ma’nosini anglatadi.
Ikki karrali integral aniq integralning hamma xossalariga ega bo’lib, u aniq integralning umumlashmasidir. Ikki karrali integral xossalarining isboti aniq integral xossalarining isboti kabi bajariladi. Shu sababli ikki karrali integralning quyidagi
xossalarini isbotsiz keltiramiz.


Agar soha umumiy ichki nuqtaga ega bo’lmagan chekli sondagi
sohalardan tashkil topgan bo’lsa, u holda
.
Agar sohada bo’lsa, u holda
.
Agar sohada bo’lsa, u holda
.
Agar sohada funksiya uzluksiz bo’lsa, u holda shunday
nuqta topiladiki
.
Bu xossa o’rta qiymat haqidagi teorema deb yuritiladi.
qiymatga funksiyaning sohadagi o’rta qiymati deyiladi.
Agar sohada funksiya uzluksiz bo’lib, va funksiyaning shu sohadagi eng kichik va eng katta qiymatlari bo’lsa, u holda
.
Bu xossa integralning chegaralanganligi haqidagi teorema deb yuritiladi.