13-Amaliy ish

13-Amaliy ish. Trigonometrik funktsiyalarni integrallash.

Ishning maqsadi: Trigonometrik funktsiyalarni integrallashga doir misollsr ishlash.

Nazariy ma’lumotlar: Faraz qilaylik, faqat trigonometrik funktsiyalarga ratsional ravishda bog’liq bo’lgan ifoda berilgan bo’lsin. Uni doim  va  orqali ratsional ravishda ifodalash mumkin. Bu ifodani  orqali belgilaymiz.
Ushbu

turdagi integralni

o’rniga qo’yish bilan doim _{ }o’zgaruvchili ratsional funktsiyaning integraliga almashtirish mumkin. Integralni bunday almashtirish ratsionallashtirish deyiladi.
Haqiqatan,

shuning uchun

bunda _- ratsional funktsiya.

o’rniga qo’yish  ko’rinishdagi har qanday funktsiyani integrallashga imkon beradi, shuning uchun u universal trigonometrik almashtirish deyiladi. Lekin amaliyotda bu almashtirish ko’pincha ancha murakkab ratsional funktsiyaga olib keladi. SHuning uchun ba’zan undan foydalanmasdan ancha sodda o’ringa qo’yishlardan foydalaniladi.
1). Agar funktsiya ga nisbatan toq bo’lsa, ya’ni

bo’lsa, u holda

o’rniga qo’yish bu funktsiyani ratsionallashtiradi.

2). Agar funktsiya ga nisbatan toq bo’lsa, ya’ni

bo’lsa, u holda



o’rniga qo’yish bu funktsiyani ratsionallashtiradi.
3). Agar funktsiya va ga nisbatan juft bo’lsa, ya’ni

bo’lsa, u holda

o’rniga qo’yish bu funktsiyani ratsionallashtiradi. Bu holda

Darsni mustahkamlash uchun misollar ishlash.
1472-misol. Ushbu



integralni hisoblang.
Yechish. Universal o’rniga qo’yishdan foydalanamiz:





1473-misol. Ushbu



integralni hisoblang.




1474-misol. Ushbu


integralni hisoblang. sinusga nisbatan toq bolganligi uchun
- hisobga olsak,