13-amaliy mashg‘ulot bernulli sxemasi. Muavr-Laplas teoremalari Nazorat uchun savollar

13-AMALIY MASHG‘ULOT

Bernulli sxemasi. Muavr-Laplas teoremalari

Nazorat uchun savollar

1. 
   Bog‘liq bo‘lmagan tajribalar ketma-ketligi deganda nimani tushunasiz?
   
2. 
   Bernulli sxemasini deb nimaga aytiladi?
   
3. 
   Bernulli formulasi qanday hollarda qo‘llaniladi?
   
4. 
   Ehtimolliklar nazariyasining asimptotik formulalari qanday maqsadlarga xizmat qiladi?
   
5. 
   Muavr-Laplasning lokal teoremasi nimadan iborat?
   
6. 
   Muavr-Laplasning lokal teoremasi tadbiqiga misol keltiring.
   
7. 
   Muavr-Laplasning integral teoremasi nimadan iborat?
   
8. 
   Muavr-Laplasning integral teoremasi qanday ahamiyatga ega? U qanday masalalarga tadbiq qilinadi?
   
9. 
   Lokal va integral teoremalar tadbiq qilinadigan masalalar orasidagi farq nimalardan iborat?
   

Mavzuga doir misollar yechish
1-misol. . O‘yin kubigi 5 marta tashlandi. “4”raqamining 3 marta tushish ehtimolligi topilsin.

Yechish. Agar o‘yin kubigi 1 marta tashlanganda “4” raqami tushish hodisasini A hodisa desak, uning ro‘y berish ehtimolligi ga, ro‘y bermaslik ehtimolligi ga teng. Masala shartiga ko‘ra . Shu ta sinovdan hodisaning (qaysi tartibda bo‘lishidan qat’iy nazar) rosa marta ro‘y berish ehtimoli ushbu Bernulli formulasi bilan hisoblanadi:

U holda Bernulli formulasiga asosan:

2-misol. Har bir otilgan o‘qning nishonga tegish ehtimoli . Otilgan 10 ta o‘qdan uchtasining nishonga tegish ehtimolini toping.

Yechish.

Shu ta sinovdan hodisaning (qaysi tartibda bo‘lishidan qat’iy nazar) rosa marta ro‘y berish ehtimoli ushbu Bernulli formulasi bilan hisoblanadi:

U holda Bernulli formulasiga asosan:


3-misol.O‘yin kubigi 5 marta tashlandi. “4”raqamining ko‘pi bilan 2 marta tushish ehtimolligi topilsin.

Yechish.Yuqoridagi 1-masala va ushbu masala shartiga ko‘ra va ga teng. Endi biz kerakli ehtimollikni (2) formula orqali hisoblashimiz mumkin:


4-misol.Har bir tajribada A hodisaning ro‘y berish ehtimoli 0,2 ga teng bo‘lsa, 400 ta tajribada bu hodisalarning rosa 80 marta ro‘y berish ehtimolini toping.

Yechish. Laplasning lokal teoremasidan foydalanamiz:

Agar n ta bog‘liq bo‘lmagan tajribalarning har birida biror A hodisaning ro‘y berish ehtimolligi bo‘lsa, u holda uchun ushbu

asimptotik formula o‘rinli, bu yerda. funksiyaning x argument musbat qiymatlariga mos keluvchi qiymatlari jadvali mavjud (1-ilova). funksiyaning juftligini e’tiborga olib bu jadvaldan argumentning manfiy qiymatlari uchun ham foydalaniladi. Masalalar yechishda bo‘lganda deb olinadi.

Masala shartlariga ko‘ra ;;;.

,

bunda

.

[1]- jadvaldan ekanligini e’tiborga olsak,

.
5-misol. Bir xil va bog‘liq bo‘lmagan sinashlarniig har birida A hodisaning ro‘y berishi 0,9 ga teng. 400 ta sinashda A hodisaning kamida 351 marta ro‘y berish ehtimoli toping.

Yechish. Laplasning integral teoremasidan foydalanamiz:

bu yerda — Laplas funksiyasi

Shartga ko‘ra

Hodisa kamida 351 marta ro‘y berdi degan talab hodisaning ro‘y berishlar soni 351 yoki 352, ... yoki 400 ga teng bo‘lishi mumkinligini bildiradi. Shuning uchun va deb olish kerak.

va larni hisoblaymiz:

Laplas funksiyasi toq funksiya, ya’ni

Shuning uchun

Jadvaldan (,2-ilova) quyidagini topamiz:

bo‘lgani uchun bo‘ladi. Izlanayotgan ehtimol

.
6-misol.Ixtiyoriy olingan pillaning yaroqsiz chiqish ehtimoli 0,2 ga teng. Tasodifan olingan 400 ta pilladan 70 tadan 130 tagachasi yaroqsiz bo‘lish ehtimolini toping.

Yechish. hodisani quyidagicha kiritamiz: ={pilla yaroqsiz}. Misol shartlariga ko‘ra ; ; ; ; .

U holda

va larni jadvaldan (2-ilova) topamiz:

,

, chunki da .

Demak,

.


Darsda yechish uchun misollar:[2] 111–114, 121–126;

Uyda yechishuchun misollar:[2] 115–117, 127–130.


Adabiyotlar

1. 
   G‘aniev I. G‘., Mansurov X. T, G‘anixo‘jaev R. N. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika. Toshkent, 2007.
   

2.Gmurman V.E. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistikadan masalalar yechishga doir qo‘llanma. Toshkent, “O‘qituvchi”, 1980-yil.