14. Tekislikda koordinatalarning Affin sistemasi

II. TEKISLIKDA KOORDINATALAR METODI

Tekislikdagi nuqtaning o’rnini ma’lum sonlar yordamida aniqlashga imkon beradigan usul ko’rsatilgan bo’lsa , tekislikda koordinatalar sistemasi berilgan deb aytamiz. Tekislikda koordinatalarning turli sistemalari mavjud bo’lib, ulardan biz soddasini kiritamiz.

14- .Tekislikda koordinatalarning Affin sistemasi

Tekislikda biror O nuqtadan qo’yilgan nokollinear ixtiyoriy ikki e₁ e₂ vektor berilgan bo’lsin.Bu vektorlar sistemasi (e₁ e₂) bazisni aniqlaydi.Tekislikda e₁ e₂ vektorlar orqali o’tuvchi a, b(a ∩b) to’g’ri chiziqlarni olamiz.

Ta’rif: Musbat yo’nalishlari mos ravishda e₁

E₂ vektorlar bilan aniqlanuvchi a,b to’g’ri

Chiziqlardan tashkil topgan Sistema

Tekislikda koordinatalarning affin sistemasi

Yoki affin reperi deyiladi (36-chizma) va u

B=(O ,e₁ e₂) ko’rinishda belgilanadi.

O=a∩b nuqta koordinatalar boshi ,e₁ e₂

Vektorlar esa koordinata vektorlari deyiladi

Musbat yo’nalishlari e₁ e₁ vektorlar bilan

Aniqlangan a,b to’g’ri chiziqlar mos

Ravishda absissalar va ordinatalar o’qlari

Deb ataladi. Ularni ox,oy bilan belgilaymiz.

Demak affin reper O nuqta va e₁ e₂ bazis vektorlarining berilishi bilan to’liq aniqlanadi.

Tekislikda (O e₁ e₂) affin reper berilgan bo’lsin.Shu tekislikning M nuqtasi uchun OM vektor M nuqtaning radius vektori deyiladi. OM V_2, shuning uchun I bob 9-§ga asosan xamisha shunday x,yR sonlar topiladiki,

OM= xe₁+ye₂.

Ta’rif:OM radius vektorning x, y koordinatalari M nuqtaning (O e₁ e₂) affin

Reperdagi koordinatalari deyiladi.Biz M(x;y) belgilashni ishlatamiz.Bunda x son M nuqtaning absissasi yoki birinchi koordinatasi , y son esa M nuqtaning ordinatasi

Yoki ikkinchi koordinatasi deyiladi.

Xullas , tekislikda koordinatalarning affin sistemasi berilsa , undagi istalgan

M nuqtaga uning koordinatalari bo’lmish bir juft haqiqiy x, y son mos keladi va

Aksincha, ma’lum tartibda olingan bir juft haqiqiy x, y songa tekislikda koordinatalari shu sonlardan iborat tayin bitta M nuqta mos keladi .

Xaqiqatan, tanlangan (O,e₁e₂) affin reperning absissalar o’qiga koordinatalar boshidan boshlab OM₁=xe₁ vektorni , ordinatalar o’qiga esa OM₂=ye₂ vektorni qo’yib (qo’yiladigan vektorlarning yo’nalishlari x,y sonlarning ishoralari bilan aniqlanadi)(37-chizma), xosil qilingan M₁ M₂ nuqtalardan mos ravishda oy va ox o’qlarga parallel to’g’ri chiziqlar o’tqazsak , ularning kesishgan nuqtasi izlanayotgan

M nuqta bo’ladi, chunki OM=OM₁+OM₂=xe₁+ye₂.shunday qilib ,(O,e₁,e₂) reperga nisbatan M(x,y) OM=xe₁+ye₂.

M nuqtaning absissasi x=0 bo’lsa,(1)dan OM=ye₂ OM e₂ M nuqta oy da yotadi .Xuddi shuningdek,M nuqtaning ordinatasi y=0 bo’lsa, M nuqta absissalar o’qida yotadi.

Shunday qilib absissalar o’qida yotgan nuqtaning koordinatalari x, 0 va ordinatalar o’qida yotgan nuqtaning koordinatalari 0, y bo’ladi.Koordinatalar boshining koordinatalari (0;0).Koordinata o’qlari butun tekislikni 38-chizmada belgilanganidek to’rtta koordinat choraklarga ajratadi.

M(x;y) nuqta koordinata o’qlarida yotmasa ,uning qaysi chorakda yotishini x,y ning ishoralariga qarab 38-chizma bo’yicha aniqlash mumkin .

Xaqiqatan, M nuqta x >0, y>0 bo’lgan holda birinchi chorakka , x<0,y>0 bo’lgan holda ikkinchi chorakka , x<0 y<0 bo’lgan holda uchinchi chorakka ,x>0 y<0 bo’lgan holda to’rtinchi chorakka tegishli bo’ladi.

Vektorning boshi va oxirining koordinatalari biror affin reperiga nisbatan ma’lum bo’lsa , bu vektorning shu bazisdagi koordinatalarini topishni ko’raylik . (O,e₁e₂) reperga nisbatan A(x₁ y₁) B(x₂ y₂) ni olaylik . Bu holda OA=x₁e₁+y₁e₂ OB =x₂e₁+y₂e₂ ,

AB=OB-OA va AB=(x₂-x₁)e₁+(y₂-y₁)e₂. Bundan AB(x₂-x_1,y₂-y₁),

ya’ni vektorning koordinatalari shu vektor oxirining koordinatalaridan mos ravishda

boshining koordinatalarini ayirish bilan hosil qilinadi .

1-misol. Berilgan (O,e₁,e₂) reperda A(3,-3), B(0,3) ,C(-2,0)nuqtalarni yasang .

Yechish.A(3,-3) nuqtani yasash uchun OA=3e₁-3e₂ vektorni yasaymiz. Buning uchun O nuqtadan boshlab e₁ga kollinear 3e₁ vektorni , e₂ga kollinear 3e₂ vektorni

Yasaymiz. So’ngra bu vektorlarning yig’indisini Topsak , OA vektor hosil qilinib,

izlanayotgan A nuqtani topamiz .

xuddi shunga o’xshash B(0,3) nuqtani yasash uchun OB=Oe₁+3e₂ vektorni yasaymiz. C(-2,0) nuqtani yasash uchun OC=-2e₁+0*e₂=-2e₁ vektorni yasaymiz (39-chizma)

2-misol.(O,e₁,e₂) reperda A(-1,2),AB(-1,3); B nuqta ning koordinatalarini toping.yechish:shu reperda B(x,y)=OB-OAnie’tiborga olsak, u holda OA(1,-2). Demak, -1=x-1, 3=y+2x=0, y=1;B(0,1)