15-bob paramyetrga bog’liq intyegrallar 74-ma’ruza Ikki o‘zgaruvchili funktsiyaning bir o‘zgaruvchisi bo‘yicha yaqinlashishi

1⁰. f­unktsiyaning uzluksizligi. funktsiyaning uzluk­­sizligini quyidagi teorema ifodalaydi:
1-teorema. Faraz qilaylik, funktsiya to‘plamda uzluksiz bo‘lib, va funktsiyalar esa segmentda uzluk­siz bo‘lsin. U holda

funktsiya da uzluksiz bo‘ladi.
◄Ixtiyoriy nuqtani olaylik. Integralning ma’­lum xossalaridan foydalanib topamiz:
(3)
Ravshanki,

integral chegarasi o‘zgarmas bo‘lgan parametrga bog‘liq integral. Bu funktsiya 75-ma’ru­zada keltirilgan 2-teoremaga muvofiq o‘zgaruvchining uzluksiz funk­tsiya­si bo‘ladi. Demak,
da (4)
bo‘ladi.
funktsiya to‘plamda uzluksiz bo‘lganligi sababli shu to‘plamda chegaralangan bo‘ladi:
.
Shartga ko‘ra va funktsiyalar segmentda uzluksiz.
Demak,
da ,
da .
Endi

munosabatlardan

(5)
da ,
da
bo‘lishini topamiz.
(3) tenglikda, da limitga o‘tish va unda (4) va (5) muno­sabatlarni hisob­ga olish natijasida
da
bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, funktsiya da uzluksiz.►
2⁰. funktsiyani differentsiallash. Faraz qilaylik, funktsiya

to‘plamda, va funktsiyalar esa segmentda berilgan bo‘lib, , funktsiyalar (1) shartni bajarsin, ya’ni uchun

bo‘lsin.
2-teorema. Aytaylik, , va funktsiyalar quyidagi shartlarni bajar­sin:
1) funktsiya to‘plamda uzluksiz;
2) funktsiya to‘plamda uzluksiz xususiy hosi­laga ega;
3) va funktsiyalar da va hosila­lar­ga ega.
U holda

funktsiya segmentda hosilaga ega bo‘lib,

bo‘ladi.
◄ , nuqtalarni olib, topamiz:
.
Agar

bo‘lishini e’tiborga olsak, unda
(6)
bo‘lishi kelib chiqadi.
75- ma’ruzadagi 1- teoremaga ko‘ra
(7)
bo‘ladi.
O’rta qiymat haqidagi teoremadan foydalanib, topamiz:

Bunda nuqta nuqtalar orasida, esa , nuqtalar orasida joylashgan. da limitga o‘tishi bilan quyidagi tengliklarga kelamiz:
(8)
Yuqoridagi (6) munosabatda da limitga o‘tib, (7) va (8) tengliklarni e’tiborga olib, ushbu

tenglikka kelamiz.
Demak,
. ►
Misol. Ushbu

funktsiyaning hosilasi topilsin.
◄ Aytaylik, bo‘lsin. Bu holda

bo‘lib,

bo‘ladi.
Aytaylik, bo‘lsin. Bu holda

bo‘lib,

bo‘ladi.
Aytaylik, bo‘lsin. Bu holda

bo‘lib,

bo‘ladi.
Demak,

bo‘ladi. ►