15-bob paramyetrga bog’liq intyegrallar 74-ma’ruza Ikki o‘zgaruvchili funktsiyaning bir o‘zgaruvchisi bo‘yicha yaqinlashishi

75-ma’ruza
Parametrga bog‘liq integrallar


1⁰. Parametrga bog‘liq integral tushunchasi. Aytaylik, funktsiya

to‘plamda berilgan bo‘lsin. Bu funktsiya har bir tayinlangan da o‘zgaruv­chi­ning funktsiyasi sifatida da integral­la­nuvchi, ya’ni

mavjud deylik. Qaralayotgan integralning qiymati tayin-langan ga bog‘liq bo‘la­di:
. (1)
Masalan, bo‘lganda
,
bo‘lganda

bo‘ladi. Demak,

Odatda (1) integral parametrga bog‘liq integral, esa parametr deyiladi.
Ravshanki, funktsiya (parametrga bog‘liq integral) berilgan funk­tsiya orqali aniqlanib, unga bog‘liq bo‘ladi.
Parametrga bog‘liq integral mavzusida funktsiya-ning funk­tsional xos­salariga ko‘ra funktsiyaning funktsional xos­salari (limiti, uzluk­siz­ligi, differen­tsial­la­nuvchiligi, integrallanishi) o‘rganiladi.
2⁰. funktsiyaning limiti. Aytaylik, funktsiya

to‘plamda berilgan bo‘lib, esa to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin. Bu funktsiya uchun har bir tayin da

mavjud bo‘lsin.
1-teorema. Faraz qilaylik, funktsiya quyidagi shart­larni bajarsin:
1) har bir tayin da funktsiya o‘zgaruvchi-ning funktsiyasi sifatida da uzluksiz;
2) da funktsiya limit funktsiya ga da tekis yaqinlashsin.
U holda da funktsiya limitga esa bo‘lib,
(2)
bo‘ladi.
◄ Keltirilgan teoremaning shartlarini bajarilishi-dan, 74-ma’ruzadagi 3-teoremaga ko‘ra, limit funktsiya ning da uzluksiz bo‘lishi kelib chiqadi. Demak,

integral mavjud.
Ayni paytda, da funktsiyaning da funktsiyaga tekis yaqinlashuvchi bo‘lishidan, ta’rifga binoan,

bo‘lishini topamiz. Ushbu

ayirmani qaraylik.
Ravshanki, tengsizlikni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy uchun

bo‘ladi.
Keyingi munosabatdan

bo‘lishi kelib chiqadi. ►
(2) munosabatni quyidagicha

ham yozish mumkin. Bu integral belgisi ostida limitga o‘tish qoidasini ifo­da­lay­di.