11-$. Xosmas integrallar,yaqinlashishi xosmas integralni xisoblash

11-$.Xosmas integrallar,yaqinlashishi xosmas integralni xisoblash.
Integrallanish chegaralari cheksiz bo’lgan integrallar yoki chegaralanmagan funksiyalardan olingan integrallar xosmas integrallar deyiladi:
6.11.1. oraliqda uzluksiz bo’lgan funksiyadan olingan integral

tenglik bilan aniqlanadi.
Agar shu limit mavjud bo’lib,chekli bo’lsa ,xosmas integral yaqinlashuvchi , aks xolda xosmas integral uzoqlashuvchi deyiladi.
Agar funksiya ning boshlang’ich funksiyasi bo’lsa, u xolda:
, bunda .
Quyidagi integrallar xam shunga o’xshash aniqlanadi:
,
.

1-misol. xosmas integralni xisoblang (bunda -o’zgarmas musbat son).

Yechish.Tarifga ko’ra:

Demak,berilgan integral yaqinlashuvchi.
2-misol. qanday qiymatlarida

Integral yaqinlashuvchi, qanday qiymatlarida uzoqlashuvchi ekanini aniqlang.
Yechish: deb faraz qilamiz, u xolda :
.
Demak, berilgan integral uzoqlashuvchi.Endi deb faraz qilamiz, u xolda:
.

Demak, da

ya’ni berilgan integral yaqinlashuvchi, da esa , yani berilgan integral uzoqlashuvchi . Shunday qilib , xosmas integral da yaqinlashuvchi va da uzoqlashuvchi.

6.11.2. 2-misoldagi integral integralning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanini taqqqoslash alomatlaridan foydalanishda qo’llanadi.
1. Agar va funksiyalar barcha lar uchun aniqlangan va da integrallanuvchi xamda barcha lar uchun bo’lsa, u xolda
a) integralning yaqinlashuvchanligidan integralning yaqinlashuvchi ekani kelib chiqadi, shu bilan birga

;
b) integralning uzoqlashuvchanligidan integralning uzoqlashuvchi ekanini kelib chiqadi.
2.Agar funksiya barcha lar uchun aniqlangan va integral yaqinlashuvchi bo’lsa , u xolda integral ham yaqinlashadi; bu xolda u absolut yaqinlashuvchi integral deyiladi, bunda
.
3. Agar integral yaqinlashuvchi , uzoqlashuvchi bo’lsa, u xolda integralni shartli yaqinlashuvchi integral deyiladi .
3-misol. integralning yaqinlashuvchanligini tekshiring .
Yechish. ( da ) va integral yaqinlashuvchi (2- misol , ) bo’lgani uchun berilgan integral xam yaqinlashuvchi (taqqoslash alomati asosida ).
4- misol. integralning yaqinlashuvchanligini tekshiring.
Yechish. da va integral yaqinlashuvchi ( 1- misol, ) bo’lgani uchun berilgan integral yaqinlashuvchi.
5-misol. integralning yaqinlashuvchanligini tekshiring.
Yechish. da va integral uzoqlashuvchi ( 2-misol, ), shunga ko’ra integral uzoqlashuvchi.
6.11.3. oraliqda uzluksiz, nuqtada uzilishiga ega funksiyadan olingan xosmas integral

Tenglik bilan aniqlanadi.
Agar bu limit mavjud bo’lib , u chekli bo’lsa xosmas integral yaqinlashuvchi,ask xolda xosmas integral uzoqlashuvchi deyiladi. Agar funksiya uchun boshlang’ich funksiya bo’lsa, u xolda

,
bunda
Agar funksiya nuqtada yoki oraliqning biror ichki nuqtasida uzilishga ega bo’lsa xam integral yuqoridagiga o’xshash aniqlanadi:


.

6-misol. xosmas integralni xisoblang: