§16. Сходимость знакопеременных рядов

Лектор ф.-м.ф.н., доц. Ж.Р.Ярметов

2023 г.
Математический анализ

• Тема: Равномерная сходимость

функциональных
последовательностей и рядов

Для того чтобы последовательность функций , определенных на множестве Е, сходилась равномерно на этом множестве к функции , необходимо и достаточно, чтобы
Критерий равномерной сходимости
Последовательности функций
Критерий Коши равномерной сходимости последовательности
Для того чтобы последовательность функций сходилась равномерно на множестве Е, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши:

Алгоритм исследования функциональной последовательности на равномерную сходимость

1.Найти предельную функцию

2.Ввести в рассмотрение функцию

3. Исследовать функцию на Е и найти наибольшее значение на Е (если наибольшего значения нет, то находим ).

4.Найти

5. Полученное значение сравнить с нулем и сделать вывод о сходимости функциональной последовательности.

Т.к. на промежутке - единственная точка максимума, то в ней достигается супремум В силу четности функции он же является супремумом на R.
+
-
5. Следовательно,
0
+
-
5.Следовательно,
0
Т.к. на промежутке - единственная точка максимума, то в ней достигается супремум В силу четности функции он же является супремумом на R.

Функциональный ряд, равномерная сходимость

Cумма всех членов функциональной последовательности - функциональный ряд определенный на D

Последовательность частичных сумм – функциональная последовательность

Опр 1. Функциональный ряд равномерно сходится на D, если последовательность частичных сумм равномерно сходится на D.

•  

Функциональный ряд, равномерная сходимость

Опр 2. Функциональный ряд

равномерно сходится на D , если

Теорема 1 (Вейерштрасса*). Если

и ряд сходится, то ряд

равномерно сходится.

____________________

•  

Функциональный ряд, равномерная сходимость

Теорема 2(Признак Абеля*). Если ряд

равномерно сходится на D и последовательность равномерно ограничена и монотонно убывает : то ряд

равномерно сходится на D.

Теорема 3(Признак Дирихле**). Если последовательность частичных сумм ряда

равномерно ограничена на D и последовательность равномерно сходится на D к нулю, то ряд равномерно сходится на D.

•  

Спасибо за внимание

• Спасибо за внимание