16-variant. I sinfda „tenglik“, „tengsizlik“, „tenglama“ tushunchalari

2. O‘rtacha qiymatlar va ular orasidagi munosabatlar
1. O‘rtacha qiymatlar.
a ={a1, a2 ,…, an} musbat sonlar ketma-ketligi uchun
o‘rta arifmetik qiymat A(a)=An= , n aa a n    ... 2 1
o‘rta geometrik qiymat G(a)=Gn=, n n a a a ...2 1
o‘rta kvadratik qiymat K(a)= Kn= va n aa a n2 2 2 2 1 ...   
o‘rta garmonik qiymat N (a)=Nn= larni aniqlaymiz. 1 1 2 1 1 ...       n a a a n
Xususan x, y musbat sonlar uchun bu o‘rta qiymatlar quyidagicha aniqlanadi:
A2= ; G2= ; K2= ; N2 = . 2 y x  xy 2 2 2 y x  y x xy  2
2. O‘rta arifmetik va o‘rta geometrik qiymatlar haqida Koshi tengsizligi va uning turli isbotlari.
Teorema. An  Gn va An = Gn tenglik faqat va faqat
a1=a2 =…= an tenglik o‘rinli bo‘lganda o‘rinli.
Isboti. ekanligini matematik induksiya usulidan foydalanib isbotlaymiz: da . Bu tengsizlik ixtiyoriy musbat va n n A G 2 n  1 2 1 2 2 a a a a    1 a 4

sonlar uchun o‘rinli bo‘lgan tengsizlikdan oson hosil qilinadi. Berilgan tengsizlikni ixtiyoriy n ta natural sonlar uchun to‘g‘ri deb, n+1 ta natural sonlar uchun to‘g‘riligini isbotlaymiz. Bu sonlar bo‘lib, ularning orasida eng kattasi bo‘lsin. Ya’ni, . Shuning uchun :a n+1>a1+a2+…+an/n.

2-misol. bo‘lsa, tengsizlikni isbotlang. 0 x  6 12 4 2 2 2 2 x x x   
Yechilishi. . 1 1 1 6 12 4 12 4 6 12 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x           
3. O‘rta geometrik va o‘rta garmonik qiymatlar orasidagi tengsizlik.
Teorema. G (a)  H(a) ekanligini, jumladan, H(a) = G(a) tenglik faqat va faqat a1=a2 =…= an shart bajarilsa to‘g‘riligini isbotlang.
Isboti. Koshi tengsizligidan foydalanib (1-masalaga qarang) foydalanib
(H(a)) -1= tenglikka ega bo‘lamiz. Jumladan, H(a) = G(a) tenglik faqat a1=a2 =…= an da bajariladi.
2. „Тenglama“, „tenglik“, „tengsizlik“ tushunchalarini shakl­lantirish bo‘yicha dastlabki qadamlar. Tarixiy ma'lumotlar Tenglik va tengsizliklarni isbotlash muammolari qadimgi davrlarda paydo bo'lgan. Teng va tengsizlik belgilarini belgilash uchun maxsus so'zlar yoki ularning qisqartmalaridan foydalanilgan. Miloddan avvalgi IV asr, Evklid, V kitobi "Boshlanishlar": agar a, b, c, d musbat raqamlar va a - eng katta raqam a/b=c/d proporsiyada, u holda a+d=b+c tengsizlik bajariladi. III asr, Papp Iskandariyaning asosiy asari «Matematik to‘plam»: a, b, c, d musbat sonlar va a/b>c/d bo‘lsa, ad>bc tengsizlik qanoatlantiriladi. Miloddan avvalgi 2000 yildan ortiq a=b uchun tengsizlik haqiqiy tenglikka aylanishi ma'lum edi.
Ma’lumki matematikada tenglama va tengsizliklarni yechish, tengsizliklarni isbotlash murakkab mavzulardan hisoblanadi. Shuning uchun ham bunday mavzularga doir misol va masalalarni
o’quvchilarga ko’plab yoritib berish maqsadga muvofiq bo’ladi. Biz bu ishimizda asosan ko’p o’zgaruvchili algebraik tenglamalarni butun sonlarda yechish, tengsizliklarni
ortirmalar usulidan foydalanib yechish va tengsizliklarni Koshi tengsizligidan foydalanib isbotlashlarni ko’rib chiqqanmiz. Bunday turdagi misollarni o’quvchilarga ko’plab o’rgatilsa
ularda bu mavzularga bo’lgan ko’nikmalari ko’proq oshadi.
Qadim zamonlardan beri matematika fanlari alohida e’tiborni tortgan endi ular san'at va sanoatga ta'siriga yanada ko'proq qiziqish bildirishdi.
Pafnutiy Lvovich Chebishev.
7-sinfdan boshlab tenglamalar va tengsizliklarni yechishning turli usullari, shu jumladan grafik. Kim matematikani quruq fan deb hisoblasa, menimcha, ular ba'zi turlarni qanchalik chiroyli tarzda yechish mumkinligini ko'rib, fikrlarini o'zgartiradilar.tenglamalar va tengsizliklar. Mana bir nechta misollar:
1).Tenglamani yeching: . Siz analitik tarzda yechishingiz mumkin, ya'ni tenglamaning ikkala tomonini uchinchi darajaga ko'taring va hokazo.Agar siz faqat echimlar sonini ko'rsatishingiz kerak bo'lsa, grafik usul ushbu tenglama uchun qulaydir.Shunga o'xshash vazifalar ko'pincha 9-sinf OGE ning "geometriya" blokini echishda topiladi.

2).Parametrli tenglamani yeching:
││ x│- 4│= a

Eng murakkab misol emas, lekin agar siz uni analitik tarzda hal qilsangiz, modul qavslarini ikki marta ochishingiz kerak bo'ladi va har bir holat uchun parametrning mumkin bo'lgan qiymatlarini ko'rib chiqing. Grafik jihatdan hamma narsa juda oddiy. Biz funksiyalarning grafiklarini chizamiz va buni ko'ramiz:
Manbalar:
kompyuter dasturiilg'or grafiker . Mayli f(x,y) va g(x, y)- o'zgaruvchilarga ega ikkita ifoda X va da va ta'rif sohasi X. Keyin shaklning tengsizliklari f(x, y) > g(x, y) yoki f(x, y) < g(x, y) chaqirdi ikki o'zgaruvchili tengsizlik .O'zgaruvchilarning ma'nosi x, y ko'pchilikdan X, buning ostida tengsizlik haqiqatga aylanadi sonli tengsizlik, uni chaqirdi qaror va belgilandi (x, y). Tengsizlikni yeching shunday juftliklar to'plamini topishdir.Har bir juft raqam bo'lsa (x, y) Tengsizlikning yechimlari to'plamidan nuqta qo'ying M(x, y), bu tengsizlik bilan berilgan tekislikdagi nuqtalar to'plamini olamiz. U chaqiriladi bu tengsizlikning grafigi . Tengsizlik uchastkasi odatda tekislikdagi maydondir.Tengsizlikning yechimlari to‘plamini tasvirlash f(x, y) > g(x, y), quyidagicha davom eting. Birinchidan, tengsizlik belgisini tenglik belgisi bilan almashtiring va tenglamaga ega bo'lgan chiziqni toping f(x,y) = g(x,y). Bu chiziq tekislikni bir necha qismlarga ajratadi. Shundan so'ng, har bir qismda bitta nuqtani olish va bu nuqtada tengsizlik mavjudligini tekshirish kifoya f(x, y) > g(x, y). Agar u shu nuqtada bajarilsa, u holda bu nuqta joylashgan butun qismda ham bajariladi. Bunday qismlarni birlashtirib, biz yechimlar to'plamini olamiz.


Vazifa. y > x.
Yechim. Birinchidan, biz tengsizlik belgisini tenglik belgisi bilan almashtiramiz va to'rtburchaklar koordinata tizimida tenglamaga ega bo'lgan chiziqni quramiz. y = x.
Bu chiziq tekislikni ikki qismga ajratadi. Shundan so'ng, biz har bir qismda bitta nuqtani olamiz va bu nuqtada tengsizlikning mavjudligini tekshiramiz y > x.
Vazifa. Grafik tengsizlikni yechish
X 2 + da 2 £ 25.

Guruch. o'n sakkiz.

Yechim. Birinchidan, tengsizlik belgisini tenglik belgisi bilan almashtiring va chiziq chizing X 2 + da 2 = 25. Bu koordinata boshida va radiusi 5 ga teng bo'lgan aylana. Olingan doira tekislikni ikki qismga ajratadi. Tengsizlikning haqiqiyligini tekshirish X 2 + da Har bir qismda 2 £ 25, biz grafik aylananing nuqtalari to'plami va aylana ichidagi tekislikning bir qismi ekanligini olamiz.