17-maruza Chiziqli operatorlar ustida amallar. 1-ta’rif

5-ta’rif. fazoning operator yordamida nolga akslanuvchi barcha elementlari to’plamiga operatorning yadrosi deyiladi va u orqali belgilanadi.

1-teorema. chiziqli operatorlar yadrosi shu operator qaralayotgan fazoning qism fazosi bo’ladi.

Isbot. bo’lganda va hamda chiziqli operator bo’lgani uchun

bo’ladi. Demak, fazoning qisim fazosidir.

6-ta’rif. chiziqli operator yadrosining o’lchoviga shu operatorning defekti deyiladi.

2-teorema. Agar fazoda aniqlangan chiziqli operator matritsaning rangi ga teng bo’lsa, Ker yadroning o’lchovi ga teng bo’ladi.

Isbot. Faraz qilaylik bo’lsin. ning barcha vektorlari nolga akslanganidan (4) tengliklar sistemasi

(6)

ko’rinishni oladi.

Aksincha, koordinatalar bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasining nolmas yechimini ifodalovchi barcha vektorlar ga tegishli bo’ladi. Shunday qilib, yadroning o’lchovi (6) sistemaning chiziqli bog’lanmagan yechimlari soniga (ya’ni fundamental sistema yechimlari soniga) teng ekan. Ma’lumki, bunday yechimlar soni n-r ga tengdir. Bu erda r soni operatorga mos keluvchi A matritsa rangini bildiradi.

3-teorema. Agar vektorlar sistemasi fazoning bazisi va lar shu fazoning ixtiyoriy vektorlari bo’lsa, unda shunday yagona operator mavjudki, u bazis sistemani larga o’tkazadi.