17−ma’ruza. Funksiyaning tekis uzluksizligi. Kantor teoremasi

1-misol. bo`lsin. By fynktsiya da tekis yzlyksiz bo`ladi.
◄ Agap ga ko`pa deb olinsa, ynda da

bo`ladi. ►
2-misol. bo`lsin. By fynktsiya da tekis yzlyksiz bo`ladi.
◄ Agap ga ko`pa, deyilsa, ynda da

bo`ladi. ►
3-misol. bo`lsin. By fynktsiya da tekis yzlyksiz bo`lmaydi.
◄ sonni, masalan, deb olib, va nyqtalap sifatida

deb olinsa, y holda ayirma quyidagicha

bo`ladi. Byndan ni hap qancha kichik qilib olish mymkin bo`lsa ham

bo`ladi. Demak, fynktsiya da tekis yzlyksiz emas. ►
3-misol. Ushbu

funksiyaning segmentda tekis uzluksizligi ko’rsatilsin.
◄ uchun sonni deb olsak, u holda lar uchun tengsizlik bajarilganda

bo’ladi. Demak, funksiya oraliqda tekis uzluksiz. ►
4−misol. Quyidagi

funksiya intervalda tekis uzluksiz emasligi ko’rsatilsin.
◄Haqiqatan ham, sonni, masalan, deb olib, nuqtalar sifatida

qaralsa, u holda ayirma uchun

ni topamiz. Endi ni ( ni katta qilib olish hisobiga) har qancha kichik qilib olish mumkin bo’lsa ham
bo’ladi. Demak, berilgan funksiya da tekis uzluksiz emas. ►
10−teorema (Kantor teoremasi). Agar funksiya segmentda uzluksiz bo’lsa, funksiya shu segmentda tekis uzluksiz bo’ladi.
◄ funksiya segmentda uzluksiz bo’lsin. Faraz qilaylik, funksiya shu segmentda tekis uzluksiz bo’lmasin. Demak, bu holda biror son va ixtiyoriy kichik son uchun segmentda shunday va nuqtalar topiladiki, tengsizlik bajarilsa ham

tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Nolga intiluvchi musbat sonlar ketma-ketligini olaylik Farazimizga ko’ra yuqoridagi son va ixtiyoriy son uchun segmentda shunday va nuqtalar topiladiki, ular uchun quyidagi munosabatlar o’rinli bo’ladi.

ketma−ketlik chegaralangan. Bu ketma−ketlikdan Bolsano-Veyershtrass lemmasiga ko’ra chekli songa intiluvchi qismiy ketma−ketlik ajratish mumkin:

U holda

bo’lganidan ketma−ketlik ham ga intiladi: . funksiyaning oraliqda uzlukmsiz bo’lishidan:

bo’lib, ulardan esa

kelib chiqadi. Bu esa uchun deyilgan yuqoridagi tasdiqqa zid. ►
funksiya to’plamda aniqlangan bo’lsin.
9−ta’rif. Quyidagi

ayirma funksiyaning to’plamdagi tebranishi deb aytiladi va orqali
belgilanadi:

funksiyaning to’plamdagi tebranishi quyidagi

ko’rinishida ham ta’riflanishi mumkin.
Kantor teoremasidan muhim natija kelib chiqadi.
3−natija. Agar funksiya segmentda uzluksiz bo’lsa, u holda son uchun shunday son topiladiki, segmentni uzunliklari dan kichik bo’laklarga ajratilganda funksiyaning har bir bo’lakdagi tebranishi dan kichik bo’ladi.
◄ funksiya segmentda uzluksiz bo’lsin. Kantor teoremasiga ko’ra bu funksiya da tekis uzluksiz bo’ladi.
Tekis uzluksizlik ta’rifiga ko’ra son uchun shunday son topiladiki, shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy lar uchun bo’ladi. Endi shu ni olib, segmentni deametri bo’lgan ixtiyoriy bo’laklashni olamiz. U holda ravshanki, nuqtalar uchun va demak, bo’ladi. Bundan ixtiyoriy bo’lakcha uchun

bo’ladi.