18 – 03 Транспорт воситаларини ишлатиш ва таoмирлаш

6.4 § Aylanma harakatdagi qattiq jism nuqtalarining chiziqli tezligi va tezlanishi.
Biz yuqoridagi (49§, 50§-larda) qattiq jismning aylanma harakatida uning hamma nuqtalariga tegishli bo‘lgan kinematik xarakteristikalarni ko‘rib o‘tdik. Endi qattiq jismning alohida olingan har bir nuqtasining kinematik xarakteristikalarini ko‘rib chiqamiz.
1. Qattiq jism nuqtalarining tezligi. Qo‘zg‘almas o‘q atrofida aylanayotgan qattiq jismning aylanish o‘qidan h - masofada joylashgan ixtiyoriy M nuqtasining harakatini olib ko‘raylik (134 shakl). Qattiq jismning aylanma harakatida shu M nuqta markazi aylanish o‘qida yotuvchi S nuqta atrofida radiusi h-ga teng bo‘lgan aylana chizadi. Bu aylana aylanish o‘qiga perpendikulyar bo‘lgan tekislikda yotadi.
Agar jism dt -vaqt oralig‘ida dj burchakka burilsa, u holda M nuqta o‘zining traektoriyasi bo‘ylab qilgan harakatida elementar ds=h×dj masofani bosib o‘tadi. Shunga ko‘ra, M nuqtaning chiziqli tezligi ds -ni dt-ga nisbatiga teng bo‘ladi, ya’ni

yoki
(6.11)
M nuqtaning tezligini jismning burchakli tezligidan farqlab, chiziqli tezlik yoki aylanma tezlik deb ataladi.
Shunday qilib, aylanma harakatdagi qattiq jism nuqtasi tezligining son qiymati, shu jismning burchakli tezligini uning aylanish o‘qigacha bo‘lgan masofasiga ko‘paytmasiga teng ekan.

111- shakl

M nuqtaning tezligi shu nuqtaning traektoriyasiga urinma holda yo‘nalib, M nuqta va aylanish o‘qidan o‘tuvchi tekislikka perpendikulyar bo‘ladi (boshqacha qilib aytganda, shu nuqtaning traektoriyasi joylashgan tekislikda yotadi -tarj).
Jismning burchakli tezligiga "Sferik harakat: burchakli tezligi:" -w uning nuqtalariga bog‘liq bo‘lmaganligi sababli, (6.11) formuladan ko‘rinib turibdiki, aylanayotgan qattiq jism nuqtalarining tezliklari ularning aylanish o‘qlarigacha bo‘lgan masofaga proportsional ravishda o‘zgarar ekan. Aylanayotgan qattiq jism nuqtalari tezliklarining maydoni 111- shaklda tasvirlangandek bo‘lar ekan.
2. Qattiq jism nuqtalarining tezlanishi. M nuqtaning tezlanishini aniqlash uchun formulalardan foydalanamiz.
Hozirgi masalada r=h. Tezlik v -ning qiymatini (6.11) tenglikdan olib kelib -larni aniqlash formulalariga qo‘ysak,


19- shakl

va nihoyat,
(6.9)
bo’lar ekan.
Urinma tezlanish - nuqtaning traektoriyasiga urinma holda (agar harakat tezlanuvchan bo’lsa harakat tomonga, sekinlanuvchan bo’lsa teskari tomonga) yo’nalgan bo’ladi; normal tezlanish - esa har doim MC radius bo’ylab aylanish o’qi tomonga qarab yo’nalgan bo’ladi (19- shakl).
M nuqtaning to’liq tezlanishining moduli (son qiymati), (11.14) formulaning birinchi tenglamasi yoki
(6.13)
formula orqali aniqlanadi.
To’liq tezlanish vektorining MC radius bilan hosil qilgan m -burchagi (11.14) formulaning ikkinchi tenglamasi tgm= / orqali aniqlanadi; va -larning qiymatlarini keltirib qo’ysak,
(6.14)

113-shakl
Burchakli tezlik-w va burchakli tezlanish - e jismning barcha nuqtalari uchun bir xil bo’lganligi sababli (6.13) va (6.14) formulalardan ko’rinib turibdiki barcha nuqtalarning to’liq tezlanish vektorlari aylanish o’qigacha bo’lgan masofaga proportsional ravishda bo’lib, ularning yo’nalishlari aylanish radiuslari bilan bir xil m - burchak tashkil etar ekan. Qattiq jismning qo’zg’almas o’q atrofidagi aylanma harakatida uning nuqtalarining tezlanish maydoni 138 shakldagi kabi tasvirlanar ekan.
Agar qattiq jismning qo’zg’almas o’q atrofidagi aylanma harakatining qonuni va nuqtaning aylanish o’qigacha bo’lgan masofasi - h berilgan bo’lsa, uning ixtiyoriy nuqtasining tezlik va tezlanishlarini (6.11)-(6.14) formulalar orqali aniqlash mumkin ekan. Agar jismning biror nuqtasining harakati ma’lum bo’lsa, ushbu formulalar orqali qolgan barcha nuqtalarining harakatlarini yoki qattiq jismning harakatini to’laligicha aniqlash mumkin ekan.


114- shakl
3. Qattiq jism nuqtalarining tezlik va tezlanish vektorlari. Ixtiyoriy M nuqtaning tezlik - va tezlanish - vektorlari ifodalarini aniqlash uchun, AB aylanish o’qining ixtiyoriy O nuqtasidan -radius vektor o’tkazamiz (114- shakl). U holda h=r×sina va (6.11) formulaga asosan,

Shunday qilib, -vektor ko’paytmaning moduli, M nuqtaning tezligini moduliga teng ekanligi isbotlandi. va vektorlarning nafaqat moduli, ularning yo’nalishlari ham bir xil ekan (ikkala vektorlar ham OMB tekisligiga perpendikulyar yo’nalgan) va o’lchov birliklari ham bir xil ekan.
Demak
(6.15)
ya’ni, aylanayotgan jismning ixtiyoriy nuqtasining tezlik vektori, jismning burchakli tezlik vektorini shu nuqtaning radius vektoriga bo’lgan vektor ko’paytmasiga teng ekan. (6.15) formulani ko’pincha Eyler formulasi deb ataydilar.
(6.15) formulaning ikkala tomonidan vaqt bo’yicha bir marta hosila olsak,

yoki
(6.16)
Qattiq jismning qo’zg’almas o’q atrofidagi aylanma harakatidagi ixtiyoriy nuqtaning tezlanishi (6.16) formula orqali hisoblanadi.
Vektor - vektor - kabi M nuqtaning traektoriyasiga urinma bo’ylab yo’naladi va | |=e×rsina=e×h bo’ladi. Vektor - har doim MC radius bo’ylab M nuqtadan normal o’q bo’yicha yo’naladi va | |=w×v×sin90°= h, chunki v=wh. Ushbu natijalarni va (6.9) formulani e’tiborga olib, va ekanligini aniqlaymiz.
1- masala. Val n=90 ayl/min burchakli tezlik bilan aylanma harakat qilmoqda. Shu valni aylantirayotgan yuritmani o’chirib qo’yilgandan keyin u sekinlanuvchan harakat qilib, t₁=40 s vaqt o’tgandan keyin to’xtaydi. Shu val o’z o’qi atrofida 40 s vaqt ichida necha marta aylanganligi aniqlansin.
Echish. Harakatni kuzatishni boshlagan vaqtimizda, ya’ni t=0 s da j₀=0 ekanligni e’tiborga olib va val tekis sekinlanuvchan harakat qiladi deb hisoblasak, u holda bunday harakatning qonuni,
, (a)
Boshlang’ich burchakli tezlikni rad/s - lar orqali aniqlaymiz, yuritma o’chirilguncha

Val aylanishdan to’xtaguncha t=t₁ s vaqt o’tib w₁=0 bo’lgan. Ushbu qiymatlarni (a) formulaning ikkinchi tenglamasiga qo’ysak,
0=πn/30+εt₁ bundan ε=-πn/30t₁
Agar t₁ -vaqt ichidagi aylanishlar sonini N - bilan belgilasak (n bilan N-ni aralashtirmaslik lozim; N -aylanishlar soni, n - esa burchakli tezlik). U holda valning burilish burchagi φ₁=2pN bo’ladi. Aniqlangan ε va φ₁ -larning qiymatlarini (a) formulaning birinchi tenglamasiga qo’ysak,
2πN=(πn/30)t₁-(πn/60)t₁=(πn/60)t₁
bundan
N=nt₁/90=30 ayl.
ekanligini aniqlaymiz.
2-masala. Radiusi R=0,6 m bo’lgan maxovik n=90 ayl/min tezlik bilan tekis aylanma harakat qilmoqda. Shu maxovikning gardishidagi nuqtaning tezlik va tezlanishi aniqlansin.
Echish. Maxovikning gardishidagi tezlik v=Rw formula orqali hisoblanadi. Masalada, burchakli tezlik ayl/min -larda berilgan, shu sababli uni rad/s -larga aylantiramiz. U holda ω=πn/30=3π va v=R×3π=5,7 m/s.
ω=const bo’lgani uchun ε=0 va =R×ε=0 bo’ladi, shunga ko’ra,

Nuqtaning tezlanish vektori M nuqtadan aylanish o’qiga qarab yo’nalgan bo’ladi.