19-ma’ruza. Ikki oʻlchovli integralni hisoblash. Ikki oʻlchovli integralda oʻzgaruvchini almashtirish. Kutb koordinatalarda ikki oʻlchovli integral

19-ma’ruza. Ikki oʻlchovli integralni hisoblash. Ikki oʻlchovli integralda oʻzgaruvchini almashtirish. Kutb koordinatalarda ikki oʻlchovli integral

1. Ikki karrali integralni hisoblash
1.1. Takroriy integral. D soha [a,b;c,d] to‘g‘ri burchakli to‘rtburchak bo‘lsin. Har bir tayin uchun integral mavjud bo‘lsin. Har bir songa integralni mos qo‘ysak [a;b] kesmada aniqlangan funksiyaga ega bo‘lamiz va uni orqali belgilaymiz. Bu funksiya o‘z navbatida [a;b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsin, ya’ni . Bu integral funksiyaning takroriy integrali deyiladi va u ko‘rinishida yoziladi. Xuddi shu kabi avval x bo‘yicha keyin y bo‘yicha olingan takroriy integralni ta’riflash mumkin.
Takroriy integral tushunchasini chegaralari o‘zgaruvchi bo‘lgan integrallar uchun ham umumlashtirish mumkin. funksiya sohada aniqlangan, bu yerda va [a;b] kesmada uzluksiz funksiyalar. Agar funksiya har bir tayin uchun kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, u holda funksiyaga ega bo‘lamiz. funksiya [a;b] kesmada integrallanuvchi bo‘lsa, takroriy integralga ega bo‘lamiz. Xuddi shu kabi takroriy integralni kiritish mumkin.
1.2. Integrallash sohasi to‘g‘ri to‘rt burchak bo‘lgan hol.
Teorema. Agar funksiya to‘g‘ri to‘rtburchakda uzluksiz va har bir uchun aniq integral mavjud bo‘lsa, u holda takroriy integral ham mavjud bo‘ladi va ushbu tenglik bajariladi:
(2)
Isbot. Agar [a;b] va [c;d] oraliqlarni

nuqtalar bilan bo‘laklarga ajratsak, u holda D to‘g‘ri to‘rtburchak mayda to‘rtburchaklarga ajraladi (2-rasm).
2-rasm
funksiyaning dagi aniq quyi va aniq yuqori chegaralarini mos ravishda va bilan belgilaymiz, unda bu to‘g‘ri to‘rtburchakning barcha (x,y) nuqtalari uchun bo‘ladi. oraliqda x ni ixtiyoriy tarzda deb tasvirlab, y bo‘yicha oraliqda integrallasak, u holda ga ega bo‘lamiz, bunda .
Bu tengsizliklarni k bo‘yicha 0 dan m-1 gacha yig‘ib, quyidagiga ega bo‘lamiz:
.
Endi har bir hadni ga ko‘paytirib, so‘ngra i boyicha 0 dan n-1 gacha qo‘shib chiqsak,

hosil bo‘ladi.
O‘rtadagi miqdor funksiya uchun integral yig‘indidir. Ikki chetdagi yig‘indilar esa integral uchun s va S Darbu yig‘indilaridir.
Shunday qilib, oxirida quyidagiga ega bo‘lamiz: .
Endi va larni bir paytda nolga intiltiramiz. funksiya D sohada integrallanuvchi bo‘lgani uchun , shunday ekan, bo‘ladi. Bundan tenglikka ega bo‘lamiz.
Ravshanki, o‘zgaruvchi x va y larning o‘rinlarini almashtirib, bo‘lganda integral mavjud degan shart bilan
(3)
formulani ham isbotlash mumkin.
Eslatma. Agar ikki karrali integral bilan birga ikkala oddiy integrallar va ham mavjud bo‘lsa, u holda ikkala (2) va (3) formulalar ham o‘rinli bo‘ladi, bundan esa
. (4)
Agar funksiya uzluksiz bo‘lsa, u holda yuqoridagi formulalarning barchasi o‘rinli bo‘ladi. (2) formulani isbotlaganda D to‘rtburchakni koordinata o‘qlariga parallel chiziqlar bilan maydalab, yuzalari bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchak ko‘rinishdagi elementlar olinishi tabiiy bo‘lar edi. Ikki karrali integral simvolida uning ana shu usul bilan hosil qilinganini ko‘rsatish uchun o‘rniga ko‘pincha (yoki ) ni yozish mumkin.