19-ma’ruza. Ikki oʻlchovli integralni hisoblash. Ikki oʻlchovli integralda oʻzgaruvchini almashtirish. Kutb koordinatalarda ikki oʻlchovli integral

2. Ikki karrali integralda o‘zgaruvchlarni almashtirish

Aytaylik Oxy tekislikda L chiziq bilan chegaralangan D soha berilgan bo‘lsin (7-rasm). Ikkinchi Ouv tekislikda chiziq bilan chegaralangan soha berilgan bo‘lsin (8-rasm).

7-rasm 8-rasm

Endi sohani D sohaga quyidagicha akslantirishni qaraylik:

(1)
1) lar bir qiymatli, uzluksiz va uzluksiz hususiy hosilalarga ega;
2) x va y larga aniq qiymatlarni qo‘ysak, u holda (1) sistemani qanoatlantiruvchi aniq u va v lar mavjud.
3) sohaning chegarasi chiziq D sohaning chegarasi L chiziqqa o‘tsin.
Bu holda (1) sistema D va sohalar orasida o‘zaro bir qiymatli akslantirish bo‘ladi. Bunday akslantirish teskari akslantirishga ega, uni
(2)
orqali belgilaylik.
sohada chiziqni qaraylik. (1) formulaga binoan unga Oxy tekislikda biror chiziq (umuman olganda to‘g‘ri chiziq bo‘lmasligi mumkin) mos keladi. Xuddi shu kabi to‘g‘ri chiziqqa Oxy tekislikda biror chiziq mos qo‘yiladi.
va to‘g‘ri chiziqlar yordamida sohani to‘g‘ri to‘rtburchaklarga bo‘lamiz (bu yerda sohani chegarasiga teguvchi bo‘lakchalarni hisobga olmaymiz). Bu to‘g‘ri chiziqlarga mos kelgan chiziqlar yordamida D soha egri chiziqli to‘rtburchaklarga bo‘linadi (7-rasm).
Ouv tekislikda to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan to‘g‘ri to‘rturchakning yuzini , Oxy tekislikda unga mos kelgan egri chiziqli to‘rtburchakning yuzini orqali belgilaylik. U holda . Umuman olganda va lar turlicha bo‘lishi mumkin.
D sohada uzluksiz funksiya berilgan bo‘lsin. funksiyaning nuqtadagi qiymatiga sohaning (2) sistema bo‘yicha aniqlangan (u,v) nuqtadagi unga teng qiymati mos keladi, bunda
funksiyaning D soha bo‘yicha integral yig‘indisini qaraylik:
(3)
Oxy tekislikdagi egri chiziqli to‘rtburchakning yuzasi ni hisoblaymiz (7-rasm).
To‘rtburchakning koordinatalarini aniqlaylik:
(4)
egri chiziqli to‘rtburchakning yuzasini hisoblashda va , va chiziqlarni o‘zaro parallel, funksiyalarning orttirmalarini ularning mos differensiallari bilan almashtiramiz. U holda (4) formulalar quyidagi ko‘rinishni oladi:
(5)
Yuqoridagi kelishuvga binoan egri chiziqli to‘rtburchakni parallelogram deb qarash mumkin. Geometriyadan ma’lumki, bu paralelogramning yuzasi



Quyidagicha belgiash kiritamiz:
Bu determinant funksiyalarning Yakobi determinanti yoki Yakobiani deyiladi.
Shunday qilib,
. (6)
Bu tenglik taqribiy tenglik bo‘lib, va yuzalar qancha kichik bo‘lsa, u shunchalik aniq tenglik bo‘la boshlaydi. va bo‘lakchalarning diametrlari nolga intilganda (6) tenglik haqiqiy tenglikka aylanadi, ya’ni
Endi olingan tenglikni ikki karrali integralni hisoblashga qo‘llaymiz. (3) tenglikka binoan tenglikni hosil qilamiz va da limitga o‘tsak,

tenglikni hosil qilamiz. Bu esa ikki karrali integralda o‘zgaruvchilarni almashtirish formulasi deyiladi.
3. Qutb koordinatalarda ikki o‘lchovli integral
desak: bo‘ladi.
Bundan Yakobian
Yakobian bo‘lib, bundan ushbu tenglikni hosil qilamiz:
.


Misol. ikki karrali integralni hisoblang. Bunda aylanalar bilan chegaralangan halqa (9-rasm).

9-rasm
Yechish.