1974 yil uchun №3 ga o'rlangan 1356. Muayyan sonning kvadrati raqamlardan iborat L, 2, 5, 5, Bu raqamni toping. Yechim

1362. Agar a, b c musbat ekanligini isbotlang va a + b + c = 5\3
Yechim. Bizda bor:
(a+b-c)>0.
a² + b + c + 2(ab - ac - bc) > 0
bc + ac — ab < — (a² + b² + c²)
bc+ac-ab < 1
bc+ac- - ab < 1, 5 3
bc + ac-ab abc + 1
1363. Bir xil uzunlikdagi to'rtta koplanar vektor OA, OB, OC, OD berilgan. Agar OA + OB + OC+ OD - 0 bo'lsa, ABCD to'rtburchak to'rtburchak ekanligini isbotlang.
Yechim 1. OÄ+ OB - OM, OC+ = ON bo'lsin, keyin 0M+ON - O va OM va ON qarama-qarshi vektorlar, ya'ni O nuqta MN segmentining o'rtasi - (1-rasm). Bundan tashqari, beri |OA|=|OB| = |OC| = -10D, keyin to'rtburchaklar OAMB va OCND-kongruent romblar, keyin [AB] va [CD] bu romblarning ikkinchi diagonallari va A va D nuqtalari MN chizig'iga nisbatan mos ravishda B va C nuqtalarga simmetrikdir. . Shuning uchun ABCD to'rtburchakdir.

Rasm 1.

Yechish 2. O A + OB + OC + OD = 0 shartidan O A + OB = CO + DO degan xulosa kelib chiqadi. Keyin (OA + OB)2 = (CO + DO), bu erda, ko'rsatilgan amallarni bajargandan so'ng va shartni hisobga olgan holda |0A|=|OB|=|OCI=|OD|, biz cos AOB = cos COD ni olamiz (2-rasm). Huddi shunday biz ham cos BOC = cos AOD ekanligini isbotlaymiz. Berilganidan beri agar vektorlar koplanar bo'lsa, u holda burchaklar yig'indisi AOB, BOC, COD, DO A teng 360° yoki AOB + BOC - = 180º va BOC + COD = 180° Bundan kelib chiqadiki, A, O. Bir chiziqning C-nuqtalari va B, O, D ham bir chiziqning nuqtalari. ABCD to‘rtburchakda AC va BD diagonallari mos keladi va kesishish nuqtasi O ni ikkiga bo‘ladi. Shuning uchun ABCD to'rtburchakdir.
1364. Uning markazidan taxminan ABCD kvadrat quring va BC u CD chiziqlariga tegishli ikkita M va N. nuqta.
Yechim. ABCD kvadrati qurilsin (3-rasm). Rt tekisligining aylanishida ABCD kvadrati 90° ko'rsatiladi o'z-o'zidan bosadi va BC chizig'i CD, M-Mi chizig'iga ko'rsatiladi. M nuqtalari va CD chizig'ini aniqlang. (CD) ga perpendikulyar M nuqtadan o'tuvchi chiziq BC, (CD)n(BC) =c chiziqdir.

Rasm 3.
A, B va D cho'qqilarining qurilishi aniq.
Muammoning ikkita yechimi bor (4-rasm), chunki kvadrat cho'qqilarning o'tish yo'nalishi ko'rsatilmagan: aylanish soat yo'nalishi bo'yicha (Mz nuqta) va amalga oshirilishi mumkin.

Rasm 4.

soat qo'lining harakatiga qarshi (Mi nuqtasi).

Agar |OM|=|ON | va MON = 90°, u holda muammo cheksiz ko'p echimlarga ega - har qanday ikkita perpendikulyar chiziq, ulardan biri o'tadi. M nuqtasi, ikkinchisi N orqali, C nuqtasini aniqlang.
Agar |0M|||ON| bo'lsa, lekin MON = 90%, ifodaning yechimlari yo’q.
1365. ABC uchburchakning har bir BC, CA, AB tomonlari uchlari orqali mos ravishda A, B1, C nuqtalarda kesishuvchi boshqa ikki tomoniga perpendikulyarlar o‘tkaziladi. A, B, C nuqtalar tegishli emasligini isbotlang. bitta to'g'ri chiziqqa.
Yechim. ABC va AB uchburchaklarida (5-rasm),

Rasm-5.
Shunga o'xshash mulohaza yuritish shuni ko'rsatadiki, A va C nuqtalari ham ABC uchburchagi atrofida chizilgan aylanaga tegishli va bu aylana markaziga nisbatan mos ravishda A va C nuqtalariga simmetrikdir.
Chunki aylananing uchta nuqtasi biriktirilmagan. bir chiziqda yotsa, u holda A, B, C nuqtalari bir chiziqda yotmaydi.