2-Амалий машғулот Буль алгебрсида қўлланиладиган асосий муносабатлар

Download 452.5 Kb.

Sana	18.06.2023
Hajmi	452.5 Kb.
	#1564289

Bog'liq
2-amaliy

O’zbekiston Respublikasi Axborot Texnologiyalari va
Kommunikatsiyalarini Rivojlantirish Vazirligi
Muhammad al-Xorazmiy nomidagi
Toshkent Axborot Texnologiyalari Universiteti

Amaliy ish
Topshirdi: 044-20 guruh talabasi
Abdullayev Abdulaziz

Toshkent 2023

2-Амалий машғулот

Буль алгебрсида қўлланиладиган асосий муносабатлар.
2.1-жадвал.

Функция	х аргументли функция қиймати		Функция белгиси	Функция номи
	0	1
f₀	0	0	0	доимо ёлғон
f₁	0	1	x	Ўзгарувчи(қайтарувчи)
f₂	1	0	x	инкор
f₃	1	1	1	доимо ҳақиқий

Иккита х ва у ўзгарувчиларнинг элементар мантиқий функцияларини кўрайлик (2.2-жадвал).

2.2-жадвал

Функция	ху аргументли функция қиймати				Функция белгиси	Функция номи
	00	01	10	11
f₀	0	0	0	0	0	доимо ёлғон
f₁	0	0	0	1	xy	конъюнкция
f₂	0	0	1	0		у бўйича таъқиқ
f₃	0	0	1	1	x	х доимо ҳақиқий
f₄	0	1	0	0	y	х бўйича таъқиқ
f₅	0	1	0	1	y	у доимо ҳақиқий
f₆	0	1	1	0	xy	х ва у ни 2 нинг модули бўйича қўшиш
f₇	0	1	1	1	xy	дизъюнкция
f₈	1	0	0	0	xy	Пирс стрелкаси
f₉	1	0	0	1	xy	тенг қийматлилик
f₁₀	1	0	1	0		у доимо ёлғон
f₁₁	1	0	1	1	xy	импликация
f₁₂	1	1	0	0		х доимо ёлғон
f₁₃	1	1	0	1	yx	импликация
f₁₄	1	1	1	0	х/y	Шеффер штрихи
f₁₅	1	1	1	1	1	доимо ҳақиқий

2.3-жадвал	2.4-жадвал
00=0 01=1 10=1 11=1	00=0 01=0 10=0 11=1

2.5-жадвал	2.6-жадвал
00=1 01=0 10=0 11=1	00=0 01=1 10=1 11=0

2.7-жадвал	2.8-жадвал	2.9-жадвал
00=1 01=1 10=0 11=1	00=1 01=1 10=1 11=0	00=1 01=0 10=0 11=0

Юқорида кўрилган элементар мантиқий функциялар ёрдамида ихтиёрий МАФни тавсифлаш мумкин.

2.10-жадвалда учта ўзгарувчили мантикий функция учун ҳақиқатлик жадвали келтирилган.

2.10-жадвал
Тўплам тартиб рақами	х₁, х₂, х₃ тўпламлари	f функция қиймати
0 1 2 3 4 5 6 7	000 001 010 011 100 101 110 111	0 0 0 1 0 1 1 1

2.2 Мантиқ алгебраси элементар функцияларининг
хусусиятлари

1) х=х, мантиқий ифодадан барча қўшалоқ инкорга эга бўлган ҳадларни чиқариб ташлаб, уларни дастлабки қиймат билан алмаштириш имконияитини билдиради;

2) бундай ўзгартириш қоидалари мантиқий ифода узунлигини қисқартиришга имкон беради;
3) х0=х; 4) х1=1; 5) х0=0; 6) х1=1; 7) хх=0; 8) хх=1 (мантиқий ҳақиқийлик).
Дизъюнкция ва конъюнкция арифметикадаги кўпайтириш амалларига ўхшаш қатор хусусиятларга эга:
1) ассоциативлик хусусияти (уйғунлашиш қонуни):
х(y+z)=(x+y)+z,
x(yz)=(xy)z
2) коммутативлик хусусияти (кўчириш қонуни):
xy=yx,
xy=yx;
3) дистрибутивлик хусусияти (тақсимланиш қонуни):
дизъюнкцияга нисбатан конъюнкция учун
x(yz)=xyxz,
конъюнкцияга нисбатан дизъюнкция учун
xyz=(xy)(xz)
Бу хусусиятларнинг ўринли эканлигини юқоридаги аксиомалардан фойдаланиб исботлаш айтарлича қийин эмас.
Де Морган қонунлари сифатида маълум қуйидаги муносабатларнинг ҳақиқатлигини ҳам кўрсатиш мумкин:
(2.1)
Бу қонундан қуйидагини ёзиш мумкин:
(2.2)
демак, конъюнкцияни дизъюнкция ва инкор орқали ёки дизъюнкцияни конъюнкция ва инкор орқали ифодалаш мумкин.
Мантиқий функциялар учун сингдириш қонуни сифатида маълум қуйидаги муносабатлар ўрнатилган:
(2.3)
2 нинг модули бўйича қўшиш функцияси қуйидаги хусусиятларга эга:
коммутативлик (кўчириш қонуни)
ху=ух;
ассоциативлик (уйғунлашиш қонуни)
х(уz)=(xy)z;
дистрибутивлик (тақсимланиш қонуни)
х(уz)=(xy)(хz).
Бу функция учун қуйидаги аксиомалар ўринли:
хх=0; х1=х;
хх=1; х0=х.
Аксиомалар ва хусусиятлардан фойдаланиб ВА, ЁКИ, ЭМАС функцияларни 2 нинг модули бўйича қўшиш функцияси орқали ифодалаш мумкин:
(2.4)
Импликация функцияси учун қуйидаги аксиомалар ўринли:
хх=1; хх=х;
х1=1; 1х=х;
х0=х; 0х=1.
Аксиомалардан кўриниб турибдики, импликация фақат кўриниши ўзгарган коммутативлик (кўчириш қонуни) хусусиятига эга
ху=ух.
Бу функция учун ассоциативлик хусусияти ўринсиздир.
ВА, ЁКИ, ЭМАС функциялари импликация функцияси орқали қуйидагича ифодаланади:
(2.5)
Шеффер штрихи функцияси учун қуйидаги аксиомалар ўринли:
х/x=x; x/1=x;
x/x=1; x/0=1;
x/0=1; x/1=x.
Шеффер штрихи функцияси учун фақат коммутативлик (кўчириш қонуни) ўринлидир:
х/у=у/х,
ВА, ЁКИ, ЭМАС функциялари Шеффер штрихи функцияси орқали қуйидагича ифодаланади:
(2.6)
Пирс стрелкаси функцияси учун қуйидаги аксиомалар ўринли:
хх=х; х0=х;
хх=0; х1=0.
Пирс стрелкаси функцияси учун фақат коммутативлик (кўчириш қонуни) хусусияти ўринли:
ху=ух.
ВА, ЁКИ, ЭМАС функцияларини Пирс стрелкаси функцияси орқали қуйидагича ифодалаш мумкин:
(2.7)

Мантиқ алгебараси нимани ўрганади

Мантиқ алгебараси, математиканинг бир қисми бўлиб, унда алгебраик операцияларни (қўшиш, айирмани, кўплаштириш ва бошқалар) ёрдамида амалга ошириладиган мантиқий аниқламаларни ёритади. Мантиқ алгебрасида, аҳамият бериш мақсадида, кўпчиликлар бўйича учта килинади ва кўплар орқали ўрганилади. Мантиқ алгебраси олий таълим муассасаларида кўпчилик мавзуида ўқитилади, ундан фойдаланилган масалалар махсус қуйидагиларни ўз ичига олади:

Кўпчиликлардаги мантиқий аниқламаларни ўрганиш;
Логик тузилишлари ва аниқламаларини ўрганиш;
Мантиқий жазо ва ижро қилишни ўрганиш;
Логик саволларни ёритиш ва ёриқма ҳал қилиш усулларини ўрганиш.

Мантиқий функциянинг ҳақиқийлик жадвали нима?

Мантиқий функциянинг ҳақиқийлик жадвали (truth table) белгиланган мантиқий аргументлар учун функциянинг ҳақиқийлиги (true/false)ни ёритадиган жадвалдир.

Мантиқий функциялар, мантиқий аргументларни олганда, ҳақиқийлик ҳисоблаш учун қўйиладиган тартибларни ўз ичига олади. Масалан, AND мантиқий функциясининг жадвали ҳақиқийлик жадвалига мисол келтирилганда, унинг биринчи ҳам аргументи true, ҳолбуки рост, унинг иккинчи ҳам аргументи true бўлиши ҳам рост бўлади. Албатта, функция аргументлари false бўлса, унинг ҳақиқийлиги false бўлади.
Мантиқий функциянинг ҳақиқийлик жадвали ҳақиқийликларни белгиланган мантиқий аргументларни ўрганишда маълумат беради ва логикадаги ижтимоий операцияларни (AND, OR, NOT ва бошқалар) белгилашда фойдали бўлади. Ҳар бир мантиқий функция учун жадвал бўлиши мумкин ва жадвал қўйиладиган мантиқий аргументлар сони бўйича кенгайтирилиши мумкин.

Икки ўзгарувчининг элементар мантиқий функцияларини санаб ўтинг.

Икки ўзгарувчи (binary) мантиқий функциялари quyidagi қатъий (elementary) функциялардан тузилиши мумкин:

Конъюкция (AND) функцияси: Функциянинг ҳар икки аргументи 1 (true) бўлиши билан функциянинг ҳақиқийлиги 1 (true) бўлади. Агар аргументларнинг бири ҳам false бўлса, функциянинг ҳақиқийлиги 0 (false) бўлади.
Жадвали:

A	B	A AND B
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Дизъюнкция (OR) функцияси: Функциянинг икки аргументидан пушт (false) бўлмаслиги шарт бўлиб, ҳар қандай бир аргумент 1 (true) бўлиши билан функциянинг ҳақиқийлиги 1 (true) бўлади.
Жадвали:

A	B	A OR B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Нот (NOT) функцияси: Функциянинг битарафли (unary) аргументи 0 (false) бўлиши ҳолатида функциянинг ҳақиқийлиги 1 (true) бўлади. Агар аргумент 1 (true) бўлса, функциянинг ҳақиқийлиги 0 (false) бўлади.
Жадвали:

A	NOT A
0	1
1	0

Мантиқ алгебрасининг асосий аксиомалари ва қоидаларини тушунтиринг.

Мантиқ алгебраси аксиомалари ва қоидалари кўпроқ бўлиши мумкин, лекин уларнинг намуналари ёки кўпайтиришга муҳтож бўлмаслиги учун бир нечта қоидаларни кўриб чиқиш мумкин:

Конъюкция (AND) оператори учун аксиома: $A \wedge A \Leftrightarrow A$
Бу аксиома "А ундан ташқари бирорта А" операциясининг ҳақиқийлик жадвалида кўрсатилган қатъий ҳақиқатдир.
Дизъюнкция (OR) оператори учун аксиома: $A \vee A \Leftrightarrow A$
Бу аксиома "А ичидан камида битта А" операциясининг ҳақиқийлик жадвалида кўрсатилган қатъий ҳақиқатдир.
Конъюкция (AND) оператори учун коммутативлик қоидалари: $A \wedge B \Leftrightarrow B \wedge A$
Ушбу қоида А ва В булутлари орасида операциянинг алоҳида тартиби (қаторлар ёзилган тартиби) мавжуд бўлишига кўра мантиқий операцияни алмаштиришдир.
Дизъюнкция (OR) оператори учун коммутативлик қоидалари: $A \vee B \Leftrightarrow B \vee A$
Ушбу қоида А ва В булутлари орасида операциянинг алоҳида тартиби (қаторлар ёзилган тартиби) мавжуд бўлишига кўра мантиқий операцияни алмаштиришдир.
Конъюкция (AND) оператори учун дистрибутивлик қоидалари: $A \wedge (B \vee C) \Leftrightarrow (A \wedge B) \vee (A \wedge C)$
Ушбу қоида мантиқий операцияларнинг орасида алоҳида операциялар бўлганда, операцияларнинг

Дизьюнкция мантиқий амалини тушунтиринг.

Дизъюнкция оператори (OR) мантиқий амали, учта бўлинувчидан (2 ёки ундан ортиқ) ташкил топадиган мантиқий бўлуқларда, қуйидагича таърифланади:

А қўшимча шарт бўлсин, B қўшимча шарт бўлсин, А ёки B ёқдир.
Масалан: "Али йўқ йўқ бўлимида ёки Бобур ишлашмайди" сўзида A = "Али йўқ", B = "Бобур ишлашмайди" бўлушига тенг. Унда, А ёки B ёқлиги мантиқий функциянинг бўлуғидир.
Дизъюнкция оператори ўртасида "ёки" сўзи, ёки "вактинча ёки" сўзи ишлатилади. Масалан: "Бу кеча қора ёки оқ" сўзида оқ ёки қоралиги битта турган операция бўлиб, дизъюнкция оператори билан алмаштирилади.
Дизъюнкция оператори мантиқий функцияларнинг асосий операторларидан биридир ва ундан фойдаланиб, бошқа функциялар қуриш мумкин. Масалан, имкониятлар операторининг (OR) ёки турли моделлар ёрдамида яратилган аксессуарларда фойдаланиш мумкин.

Эквивалентлик мантиқий амалини тушунтиринг.

Эквивалентлик оператори мантиқий амалда, икки шарт юзасидан бирини қайтаради. Агар А ва B шартлари эквивалент бўлса, А $\Leftrightarrow$ B оператори 1ни қайтаради, ва агар шартлар юзасидан эквивалент эмас бўлса, оператор 0ни қайтаради.

Эквивалентлик операторининг қоидалари ҳам коммутативлик ва ассоциативлик қоидаларига эга.
Коммутативлик қоидалари:
$A \Leftrightarrow B \Leftrightarrow B \Leftrightarrow A$
Ассоциативлик қоидалари:
$(A \Leftrightarrow B) \Leftrightarrow C \Leftrightarrow A \Leftrightarrow (B \Leftrightarrow C)$
Мантиқий функцияларда эквивалентлик оператори часто IF AND ONLY IF (IFF) оператори деб ёзилади. IFF оператори А ва B бўлувчи функцияларда А ва B нинг мантиқий пайтларини ёпиштиради ва А ва B нинг пайтлари тўғри келадиганда, 1ни қайтариб беради, агар ёпилган шартларда А ва B нинг пайтлари тўғри келмаса, 0ни қайтаради.

Импликация мантиқий амалини тушунтиринг.

Импликация мантиқий амалда, А ва B бўлувчи функцияларнинг биринчисининг ҳақиқийлиги Бни тасдиқлайдиганда, А $\Rightarrow$ B оператори 1ни қайтаради. Агар Анинг ҳақиқийлиги Бни тасдиқламаса, оператор 0ни қайтаради.

Импликация операторининг шакли $A \Rightarrow B$ бўлиб, $A$ ни премисса (анчақ тўғри киритилган шарт), $B$ ни конклюзия (премиссадан келтирилган натижа) деб танлаш мумкин.
Импликация операторининг қоидалари:
$A \Rightarrow A$ ўрнида оператор 1ни қайтаради. Бу ҳаммасига очиқ.
$A \Rightarrow B$ ёлғон бўлмаган бошқа икки шартда, А ҳақиқийлиги Бни тасдиқламаса, оператор 0ни қайтаради.
$A \Rightarrow B$ оператори мумкинчиликни ёлғон қилмайди: агар $A$ ёлғон бўлса, оператор қайтаради. Бу айрим мантиқий жараёнларда муҳим рол ўйнайди.
Агар А ва B нинг мантиқий пайтлари билан ишланганда Анинг пайти Бга бошлиғи билан тўғри келадиганда, А $\Rightarrow$ B оператори мантиқий жараёнларда кўпчилик билан ишлатилади.

Ютилиш қонунини тушунтиринг.

Ютилиш қонуни (Law of Syllogism) мантиқий амалнинг бири ҳисобланади. Ўзи икки импликация операторларининг бир кўмакда ишлатилиши бўлмоқчи. Ютилиш қонуни асллари дастлабки (modus ponens) ва дастлабкисосий (modus tollens) номлари билан номланади.

Дастлабки (modus ponens) қонуни шундай келади: А $\Rightarrow$ B ва A операторлари берилган бўлса, ундан келган Анинг пайти Бга бошланиши билан B оператори ҳам юриши керак. Шунинг учун, А ва B ўзара ҳамда Б ҳақиқатлари билан ўзгараётган ёки ҳақиқатлари билан алоҳида имкониятлар олдинга келган ҳолатларда, дастлабки (modus ponens) оператори ишлатилиши мумкин.
Масалан, агар $A$ ёлғон бўлиш ҳамда $A \Rightarrow B$ операторлари берилса, ундан келган $B$ ҳақиқати ҳам тўғри келади.
Дастлабкисосий (modus tollens) қонуни қуйидаги шаклда ифодаланади: А $\Rightarrow$ B ва B йўқ бўлса, ундан келган А йўқлиги ҳам йўқлигини кўрсатади. Бу қонун алоҳида юзага келадиган жиҳатдан муҳим: унда, қуйидаги шарт керак: A ва B операторлари ҳамда B ёлғон бўлмаган ҳолатда, модус толленс оператори ишлатилиши мумкин.
Масалан, агар $A \Rightarrow B$ ва $B$ йўқ бўлса, ундан келган $A$ ҳам йўқ бўлади.
9.Де-Морган қонунини тушунтиринг.

Де-Морган қонуна кўра, бутунларнинг негативларини олганда, дизъюнкция ва конъюнкция операторлари орасидаги ўзгарувчиларни алмаштириб туради. Айни ҳолда, ўзгарувчиларнинг негативларини олганда, дизъюнкция ва конъюнкция операторларининг жойлашган жойлари ўзгариб туради.

Де-Морган қонуни дизъюнкция ва конъюнкция операторлари учун қуйидагича формулада берилади:

Бу ёрдамчи қонунлар мантиқий амалда кўплаб ўзгарувчиларни алмаштириш учун керак бўлади. Масалан,

ифодасини $\neg p \wedge \neg q$ га ўтказиш мумкин. Ёни $\neg (p \vee q)$ радди маъносини беради, бу еътиборни $\neg p$ ва $\neg q$ радларга ўзлаштиради. Бир неча мантиқий амалда, Де-Морган қонуни янги ўзгарувчиларни топиш ва режалаштиришда муҳим рол ўйнайди.

Download 452.5 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham: