2 amaliy mashg’ulot. Vektor maydonning divergensiyasi. Ostrogradskiy teoramasining tadbiqlari. Vektor maydonning sirkulyasiyasi. Solenoidal maydonlar. Stoks teoremasining tadbiqlari. Ta’rif

2 - AMALIY MASHG’ULOT. VEKTOR MAYDONNING DIVERGENSIYASI. OSTROGRADSKIY TEORAMASINING TADBIQLARI. VEKTOR MAYDONNING SIRKULYASIYASI. SOLENOIDAL MAYDONLAR. STOKS TEOREMASINING TADBIQLARI.


Ta’rif. vektor maydonning diverginsiyasi (uzoqlashuvchisi) deb nuqtaning skalyar maydoniga aytiladi, u ko‘rinishda yoiladi va

formula bilan aniqlanadi, bu yerda xususiy hosilalar nuqtada hisoblanadi.
Divergensiyadan foydalanib, Ostogradskiyning (10) formulasini vektor shaklida qayta yozish mumkin:

Uni bunday ifodalash mumkin: yopiq sirt orqali o‘tuvchi (bu sirt tashqi normali yo‘nalishida orientirlangan) vektor maydon oqimi shu sirt bilan chegaralangan hajm bo‘yicha maydon divergensiyasidan olingan uch karrali integralga teng.
Divergensiyani hisoblashda quyidagi xossalardan foydalaniladi:



bu yerda skalyar maydonni aniqlovchi funksiya.
Misol. Ushbu

vektor maydonning tekislikning koordinata tekisliklari bilan kesishish chizig‘i bo‘yicha sirkulyatsiyasini hisoblang.
Yechish. tekislikning yuqori tomonini shuningdek, shu tomonga mos kelgan berk konturni aylanib chiqish yo‘nalishini qarab chiqamiz (14-chizma). Ushbuga ega bo‘lamiz:

xususiy hosilalarni topamiz:
.

14-chima. 15-chizma.
Bu ifodalarni (71) Stoks formulasiga qo‘yamiz:

sirt bo‘yicha olingan integralni bu sirtning koordinata tekisliklaridagi proeksiyalari bo‘lgan karrali integrallar bilan ifodalaymiz:


(15-chizma).

16-chima. 17-chizma.

(16-chizma).


(17-chizma).
Shunday qilib,

Misol. vektor maydonning aylana bo‘yicha birlik vektor ga nisbatan aylanib o‘tishning musbat yo‘nalishda sirkulyatsiyasini ikki usul bilan:

1. 
   sirkulyatsiya ta’rifidan foydalanib;
   
2. 
   Stoks formulasidan foydalanib hisoblang.
   

Yechish. Chizma chizib, unda normalning birlik vektor yo‘nalishini
va konturni aylanish yo‘nalishini ko‘rsatamiz (18-chizma).

18-chizma.

1. 
   Aylananing parametrik tenglamalari:
   

Izlanayotgan Ц sirkulyatsiyani ta’rifdan foydalanib topamiz:

2. 
   Shartga ko‘ra: . Stoks formulasiga ko‘ra:
   

(Ikki o‘lchovli integralni hisoblashda qutb koordinatalariga o‘tildi.)
Topshiriqlar.
1. vektor maydonning tekislikning koordinata tekisliklari bilan kesishdan hosil bo‘lgan uchburchak konturi bo‘yicha sirkulyatsiyasini (bu tekislikning normal vektoriga nisbatan aylanib o‘tish yo‘nalishi musbat bo‘lganda) sirkulyatsiya ta’rifidan foydalanib hisoblang.
a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)
2. vektor maydonning tekislikning koordinata tekisliklari bilan kesishdan hosil bo‘lgan uchburchak konturi bo‘yicha sirkulyatsiyasini (bu tekislikning normal vektoriga nisbatan aylanib o‘tish yo‘nalishi musbat bo‘lganda) Stoks formulasi yordamida hisoblang.
a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)