2. Bessel funksiyalari uchun rekurrent munosabatlar

Mundarija:
I. Kirish …………………………………………………………………………... 2
II. Asosiy qism.
1. Bessel funksiyalari …………………………………………………. 5
2. Bessel funksiyalari uchun rekurrent munosabatlar ……………….... 9
3. Yarim butun indeksli Bessel funksiyalari …………………………. 12
4. Bessel funksiyalarining nollari. Ortogonallik munosabatlari ……. 16
III. Xulosa ………………………………………………………………………. 18
IV. Foydalanilgan adabiyotlar ………………………………………………… 19

Kirish.
Respublikamizda tub o‘zgarishlar, siyosiy va ijtimoiy-iqtisodiy hayotning barcha tomonlarini izchil isloh qilish va liberallashtirish, jamiyatimizni demokratik yangilash va modernizatsiyalash jarayonlari jadal rivojlanib bormoqda. Bunda kuchli fuqarolik jamiyatini shakllantirish yo‘lida belgilab olingan va izchil amalga oshirilayotgan ulkan vazifalar zamin yaratmoqda. Ta’lim sifatini yaxshilash uchun davlat ta’lim standartlari, malaka talablarining jahon standartlariga mosligini ta’minlash, ta’lim jarayonini erkinlashtirish, yosh olimlarning kashfiyot va ixtirolarini qo‘llab quvvatlash, ularning ilmiy izlanishlarini rag‘batlantirish, ta’lim jarayonini zamonaviy moddiy texnika va ilg‘or pedagogik texnologiyalar bilan ta’minlash masalasiga oqilona yondashuv zarurligi haqida fikr yuritar ekan, O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti SH.M.Mirziyoev barcha bosqichdagi o‘quv jarayonini yangi sifat darajasiga ko‘tarish, ta’lim tizimiga innovatsion yondashuvning zarurligini, shuningdek ta’lim va tarbiya tizimining uzviyligini ta’minlash uchun tarbiyachilarning o‘zlariga zamonaviy bilim berish, malakasini oshirish kabi paysalga solib bo‘lmaydigan dolzarb masala bor deb kuyinib e’tirof etdilar.
2017 yil 20 aprel kuni Prezident “Oliy ta’lim tizimini yanada rivojlantirish chora-tadbirlari to‘g‘risida”gi qarorni imzoladi. Qaror oliy ta’lim tizimini tubdan takomillashtirish, mamlakatimizni ijtimoiy-iqtisodiy rivojlantirish borasidagi ustuvor vazifalarga mos holda, kadrlar tayyorlashning ma’no-mazmunini tubdan qayta ko‘rib chiqish, xalqaro standartlar darajasida oliy malakali mutaxassislar tayyorlash uchun zarur sharoitlar yaratish maqsadida qabul qilingan. 
Qarorda belgilangan vazifalarning samarali yechimini to‘liq ta’minlash maqsadida Oliy ta’lim tizimini 2017-2021 yillarga mo‘ljallangan kompleks rivojlantirish dasturi tasdiqlandi. Dasturga muvofiq, 2017-2021 yillarda 48 ta oliy ta’lim muassasasida jami 180 ta o‘quv, ilmiy-laboratoriya binosi, sport inshootlari va ijtimoiy-muhandislik infratuzilmalari ob’ektlarida qurilish, rekonstruksiya va kapital ta’mirlash ishlari olib boriladi. Shuningdek, 53 ta oliy ta’lim muassasasida 400 ta o‘quv laboratoriyasi bosqichma-bosqich eng zamonaviy o‘quv-laboratoriya uskunalari bilan jihozlanadi, 7 ta oliy ta’lim muassasasida barcha oliy ta’lim muassasalari o‘zaro hamkorlikda foydalanadigan ilmiy laboratoriyalar tashkil etiladi. Oliy ta’lim tizimini 2017-2021 yillarga mo‘ljallangan kompleks rivojlantirish dasturini amalga oshirish uchun yo‘naltiriladigan moliyaviy mablag‘lar 1,7 trillion so‘mdan ziyod bo‘lib, ulardan 1,2 trillion so‘mi o‘quv-laboratoriya binolari, sport zallari va talabalar turar-joylarini rekonstruksiya qilish va kapital ta’mirlashga, 500 milliard so‘mdan ortiq mablag‘ esa o‘quv-laboratoriya uskunalari, mebel va inventar bilan ta’minlash, umumiy tartibda foydalanishga mo‘ljallangan, barcha ta’lim muassasalariga xizmat ko‘rsatadigan laboratoriya komplekslarini tashkil etish hamda axborot-kommunikatsiya texnologiyalarini rivojlantirishga sarflanadi. Bu vazifalar har tomonlama etuk, iqtidorli, mustaqil va sog‘lom fikrlay oladigan, milliy qadriyatlarimizni, ajdodlarimizning moddiy va ma’naviy merosini qadrlay oladigan, ijodkor, sof ahloqli va nozik didli yoshlarni tarbiyalashdan iborat bo‘lib, bugungi kun o‘qituvchisidan tinmay ijodiy izlanish, yuksak pedagogik mahorat, o‘qish va o‘qitishga yangicha munosabatni, fidoyilikni talab qiladi. Mamlakatimizning eng ilg‘or ziyolisi, eng ishonchli “ma’rifatparvari” deb e’zozlanayotgan o‘qituvchilar buni nihoyatda chuqur xis etishi buyuk bobokalonlarimiz yaratgan minglab asarlarni, noyob qurilmalar va javohirdek milliy merosimizni yosh avlod ongiga chuqur singdirishdek, barkamol va bilimdon yoshlarni tarbiyalashdek, vatan taraqqiyotiga ulkan xissa qo‘shishdek bu oliyjanob ishni o‘zlarining muqaddas burchi, yuksak ma’naviyati deb bilmog‘i darkor.
Uzluksiz ta’lim tizimining barcha bo‘g‘inlarida o‘quvchi va talabalarga chuqur bilim berishda noan’anaviy metodlardan unumli foydalanish, yangi pedagogik va axborot texnologiyalarini faol tatbiq etish, fanlarni o‘qitishda nazariy masalalarni amaliyotga tatbiq etishga alohida ahamiyat berilmoqda. Insoniyat tarixining ko‘p asrlik tajribasi ezgu g‘oyalardan va sog‘lom mafkuradan mahrum biron-bir jamiyatning uzoqqa bora olmasligini ko‘rsatdi. Shu bois, mustaqillik tufayli mamlakatimiz o‘z oldiga ozod va obod Vatan, erkin va farovon hayot barpo etish, rivojlangan mamlakatlar qatoridan o‘rin olish, demokratik jamiyat qurish kabi ezgu maqsadlarni qo‘ydi.
“Kadrlar tayyorlash milliy dasturi”da o‘quv jarayonining moddiy-texnika va axborot bazasi yetarli emasligi, yuqori malakali pedogog-kadrlarning yetishmasligi, sifatli o‘quv-uslubiy va ilmiy adabiyot hamda didaktik materiallarning kamligi, ta’lim tizimi, fan va ishlab chiqarish o‘rtasida puxta o‘zaro hamkorlik va o‘zaro foydali aloqadorlikning yo‘qligi kadrlar tayyorlashning mavjud tizimidagi jiddiy kamchiliklar sirasiga kiradi, deb ko‘rsatib o‘tilgan. Shuning bilan bir qatorda, ilg‘or pedagogik texnologiyalarni yaratish va o‘zlashtirish yuzasidan maqsadli innovatsion loyihalarni shakllantirish hamda amalga oshirish orqali ilm-fanning ta’lim amaliyoti bilan aloqasini ta’minlash chora-tadbirlarini ishlab chiqish, ilg‘or axborot va pedagogik texnologiyalarni amalga oshirish uchun tajriba maydonchalari barpo etish orqali esa ilmiy tadqiqotlar natijalarini ta’lim tarbiya jarayoniga o‘z vaqtida joriy etish mexanizmini ro‘yobga chiqarish, zamonaviy axborot texnologiyalari, kompyuterlashtirish va kompyuterlar tarmoqlari negizida ta’lim jarayonini axborot bilan ta’minlash rivojlanib borishi belgilab qo‘yilgan.
O’zbekiston Respublikasi Prezidenti Sh.M.Mirziyoyevning “Oliy ta’lim tizimini yanada rivojlantrish chora-tadbirlari to’g’risida “ 2017-yil 20-apreldagi PQ-2909-son qarorini ijro etish hamda mamlakatimizda kadrlar tayorlash tizimini yanada takomillashtirish, iqtisodiyot va ijtimoiy soha tarmoqlarini yuqori malakali mutaxasislar bilan ta’minlash bakalavr va magistrlarni tayyorlashda ish beruvchilarning joriy va istiqboldagi extiyojlarini inobatga olgan holda son va ta’lim yo’nalishlari uyg’unligiga erishish, oily ta’lim muassasalari bitiruvchilari mehnatidan foydalanishni yaxshilash, shuningdek, iqtisodiyotda tarkibiy o’zgarishlarni amalga oshirishning o’rtacha muddatga mo’ljallagan maqsadli dasturlarini joriy etish, tarmoqlarni modernizatsiya qilish, texnik va texnologik qayta jihozlash va diversifikatsiyalash, hududlarni kompleks ijtimoiy-iqtisodiy rivojlantrish maqsadida qator ishlar amalga oshirildi.