2. Bessel funksiyalari uchun rekurrent munosabatlar

3. Yarim butun indeksli Bessel funksiyalari.

Formuladagi ni deb olaylik.

Legendrening ikkilash formulasi deyiladigan
(22)
formuladan foydalansak yuqoridagi qator quyidagi ko’rinishga keladi:

Xuddi shunday yo’l bilan holni ham soddalashtirishimiz mumkin:


Ana endi

rekurrent munosabatni ishlataylik. Undan kelib chiqadiki,

Xuddi shu yo’sinda

formulani ishlatsak quyidagini olamiz:

Yarim butun indeksli Bessel funksiyalari Helmholtz tenglamasini sferik sistemada yechganda ham paydo bo‘ladi quyidagi shar uchun issiqlik tarqalishi masalasining yechilishida paydo bo‘lgan.

Bu yerda va almashtirishlar bajarilsa

tenglama olinadi. Uning yechimi yarim butun indeksli Bessel funksiyasi

Shu yerda chegaraviy shart ni qo‘llash kerak:

Demak, son yarim butun Bessel funksiyalarining nollari orqali aniqlanar ekan:

Yoki

To‘liq yechim:


Legendre polinomlari uchun ortogonallik va norma shartlari


Va
.
formulalarni, Bessel funksiyalari uchun ortogonallik va norma shartlari

Va

formulalarni ishlatish natijasida noma’lum larni aniqlash mumkin:

Agar (1)-silindrik tenglamada almashtirish bajarsak,
(23)
tenglamani olamiz. Albatta, funksiya bu tenglamaning yechimi, ammo bu holdagi yechim uchun quyidagi belgilash qabul qilingan:

Keltirib chiqarish qiyin emaski,

Ikkinchi yechim odatda

ko’rinishda tanlab olinadi. Bu funksiyaning nomi Macdonald funksiyasi (ba’zibir kitoblarda - Kelvin funksiyasi). Xususiy hollar: