2. Butunlik sohasi va maydon 1-misol

2. Butunlik sohasi va maydon

2.1-misol. Agar bo’lsa to’plami Gauss butun sonlari deb nomlanuvchi halqani tashkil etadi. Gauss butun sonlari qo’shish va ko’paytirish amaliga nisbatan yopiq bo’lganligi sababli kompleks sonlarning qism halqasi ekanligini ko’ramiz. Mayli da birlik bo’lsin. U holda da birlik bo’ladı, agar bo’lsa u holda . Agar bo’lsa u holda

.

Shu sababli yoki yoki ga teng bo’lishi kerak yoki yoki de teng kuchli. Demak, bu halqaning birliklari va ; shu sababli Gauss butun sonlari maydon emas. Gauss butun sonlari butunlik sohasi bo’lishini isbotlashni mashq sifatida qoldiramiz.

2.2-misol.

matritsalar to’plami da maydon tashkil etadi.

2.3-misol. to’plami maydon bo’ladi. da elementining teskarisi

ga teng.

Butunlik sohasining alternativ xarakteristikasini quyida o’rganamiz.

Tastiq 2.1 (Qisqartirish qonuni). Aytaylik birlik elementga ega kommutativ halqa bo’lsin. Demak, butunlik sohasi bo’lib, agar barcha noldan farqli elementlar uchun bo’lsa unda .

Isbot. butunlik sohasi bo’lsin. Demak, nollik bo’luvchiga ega emas. uchun bo’lsin. U holda . Bundan va .

Aksincha, qisqartirish mumkin deb faraz qilaylik. U holda, bundan esa . Mayli bo’lsin. Agar bo’lsa, u holda yoki . Demak nollik bo’luvchi bo’la olmaydi.

Teorema 2.1. Hárbir chegaralangan butunlik sohasi maydon bo’ladi.

Isbot. Aytaylik chegaralangan butunlik sohasi va uning noldan farqli elementlarining to’plami bo’lsin. dagi harbir element teskarisiga ega ekanligini ko’rsatishimiz kerak. Harbir uchun akslantirishin orqali aniqlashimiz mumkin. Bu akslantirishda agar va bo’lsa unda . akslantirishi yagona uchun

Chap tamondan qisqartirsak ga keladi. shegaralangan to’plam u holda akslantirishi ham bo’lishi kerak. Demak, shunday uchun . Shu sababli, chaptan teskari bo’ladi. kommutativ bo’lganligi sababli, uchun o’ngdan teskari bo’ladi. Demak, maydon bo’ladi.

halqadagi manfiy bo’lmagan butun soni ham shunday elementi uchun

ni ko’rinishida yozamiz. halqaning xarakteristikasini uchun bo’ladigan ning eng kichik musbat butun soniga teng deb aniqlaymiz. Agar bunday butun son bor bo’lmasa, ning xarakteristikası deb aniqlanadi.

2.4-mısol. harbir sodda soni uchun xarakteristikali maydon bo’ladi. 3.1 tasdiq [1] dan da ixtiyoriy noldan farqli elementi uchun teskarisi bor bo’ladi, shu sababdan maydon bo’ladi. Agar maydondagi noldan farqli element bo’lsa, unda . Sababi abellik guruhidagi ixtiyoriy noldan farqli elementning tartibi ga teng.

Lemma 2.1. Aytaylik birlik elementga ega halqa bo’lsin. Agar tartibli bo’lsa, u holda ning xarakteristikası ga teng bo’ladi.

Isbot. Agar tartibli bo’lsa, u holda musbat butun son uchun . Shu sababli, uchun

.

Boshqa tamondan, agar bo’ladigan musbat soni bor bo’lmasa, ning xarakteristikası nolga teng bo’ladi.

Teorema 2.2. Butunlik sohasining xarakteristikasi yoki sodda yoki nol bo’ladi.

Isbot. butunlik sohasi va xarakteristikasi , bo’lsin deb faraz qilaylik. Agar sodda bo’lmasa, u holda bu yerda va . 16.5 lemmadan bo’ladigan holatni ko’rib chiqamiz. Demak, va nollik bo’luvchiga ega emas. U holda yoki yoki . Demak, ning xarakteristikasi dan kichik bo’lishi kerak bu zidlikga keladi. Shu sababdan sodda bo’lishi kerak.